Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Per quali numeri positivi $a$ e $b$, con $a>1$, l'equazione $log_a x = x^b$ ha soluzioni positive per $x$?
Cordialmente, Alex
Sia [size=120]k[/size] reale e positivo.
Si consideri la successione
{[size=120]a[/size][size=85]n[/size]} = [size=120]a[/size][size=85]0[/size], [size=120]a[/size][size=85]1[/size], [size=120]a[/size][size=85]2[/size], [size=120]a[/size][size=85]3[/size], ...
drfinita ricorrentemente come segue:
[size=120]a[/size][size=85]0[/size] = [size=120]k[/size]; [size=120]∀[/size]n [size=120]∈[/size] [size=120]N[/size] [size=120]a[/size][size=85]n+1[/size] = ...
Ad una cena di gala sono invitati $2n$ ambasciatori che si siedono attorno ad un tavolo rotondo.
Ogni ambasciatore ha, al massimo, $n-1$ nemici tra gli altri ambasciatori.
Provare che tutti gli ambasciatori possono sedersi attorno al tavolo senza che nessuno di loro abbia nemici seduti ai suoi fianchi (sia a destra che a sinistra).
Cordialmente, Alex
Describe a real quadratic function $f$ such that the graph of its derivative $f'$ is tangent to the graph of $f$.
Cordialmente, Alex
Provare che
[size=150]$(cos(theta))^p<=cos(ptheta)$[/size]
per
[size=150]$0<=theta<=pi/2$ e $0<p<1$[/size]
Cordialmente, Alex
Data la retta s ed i punti A,B nello stesso semipiano, dire come si può costruire (con riga e compasso) la circonferenza passante per i due punti e tangente alla retta.
Garantisco che la soluzione c'è, perché anni fa ne avevo trovata una (bruttina); ora però non riesco a ritrovarla.
Senza usare calcolatrici e simili, dimostrare che $1/log_2(pi)+1/log_5(pi)>2$
Cordialmente, Alex
Tiziano si trova nella sua abitazione e deve prendere un treno che parte dalla stazione esattamente tra mezz'ora.
Sotto la sua abitazione c'è la fermata degli autobus della linea A che lo portano alla stazione in 20 minuti.
A 5 minuti di cammino vi è una fermata delle linee B e C che lo possono portare alla stazione in 18 minuti.
Tiziano non conosce l'orario di passaggio degli autobus ma sa che su ognuna delle linee gli autobus passano ogni quarto d'ora.
Quale strategia conviene a Tiziano per ...
Un battello scende lungo un fiume; sia alla partenza sia ad ogni stazione intermedia salgono sul battello tanti passeggeri, ognuno diretto ad una diversa stazione, quante sono le fermate successive.
Sapendo che il numero massimo di passeggeri contemporaneamente presenti sul battello è $380$, si determini il numero delle stazioni.
Cordialmente, Alex
Ho un paio di problemi di Geometria che sfruttano idee interessanti. Scritti da me, il secondo pesantemente ispirato da un quesito che forse già conoscerete. Spero non risultino eccessivamente semplici alla risoluzione.
Problema 1. Sia $ABC$ un triangolo in cui $BC>CA$. Per il simmetrico $S$ dell'ortocentro di $ABC$ rispetto al lato $AB$ condurre le distanze $SX$ e $SY$ dalle rette $BC$ e ...
Nel 1952 a Breslavia, durante un meeting dei partecipanti alle Olimpiadi di Matematica, il Dr. J. Mikusiński dimostrò una divisione del piano in ettagoni tale che ad ogni vertice si incontravano tre ettagoni.
Da ciò noi possiamo dedurre che $14=15$.
Chiamiamo $P$ l'angolo piatto.
La somma degli angoli in un ettagono è $5P$, quindi la dimensione media di un angolo di un ettagono è $5/7P$.
Dato che l'intero piano si può ricoprire con ettagoni, ne ...
Provare che esiste una potenza di $2$ la cui espressione decimale inizi con tre nove ovvero $2^n=999.....$
Cordialmente, Alex
Trovare tutti i numeri reali tali che [size=200]$x\floor(x\floor(x\floor(x)))=88$[/size]
Cordialmente, Alex
Due cerchi di raggi $r$ e $R$ si intersecano in due punti.
Due particelle partono nello stesso istante da uno dei punti di intersezione e percorrono, in senso antiorario e a velocità costante, ognuna il rispettivo cerchio, compiendo una rivoluzione nello stesso tempo e ritrovandosi quindi nello stesso istante nel punto in cui sono partite.
Qual è il luogo dei punti del punto medio del segmento che unisce le due particelle?
Cordialmente, Alex
Data la sequenza di interi $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, ...$ dove ogni intero positivo $n$ compare a gruppi di $n$ termini consecutivi, quanti termini necessitano in modo tale che la somma dei loro reciproci sia $500$?
Cordialmente, Alex
1)
$1/4{1/4[1/4(1/4x-1/4)-1/4]-1/4}-1/4=0$
2)
Provare che $1/2*3/4*5/6*7/8*...*99/100<1/10$
Cordialmente, Alex
Buongiorno, riporto il problema numero 16 della gara a squadre femminile svoltasi a Cesenatico nel mese di maggio:
"Oramai le tre bambine sono entrate nel cuore di Gru, che le segue e le accudisce come un padre. Questo non piace al dottor Nefarius che vuole riportare Gru alla ragione. Nefarius prende un dado regolare a 4 facce e lo lancia 7 volte.
Al settimo lancio si accorge di aver visto almeno una volta tutte le facce e decide di telefonare all’orfanotrofio per
denunciare Gru e costringerlo ...
Salve, sto cercando di risolvere il seguente problema. Dato un numero N (molto grande), sapendo che:
[formule]N=a^2+b^2[/formule]
In cui, a e b sono numeri primi, trovare dei possibili candidati per a e b. Ho provato a trovare i fattori primi di N, ma una volta ottenuti non so cosa farmene per poter estrarre in qualche modo a e b. Qualcuno ha qualche proposta?
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