Problema 1

[Cosimo.14]

Dall’insieme ${3,4,12}$ si prendono due numeri e li si sostituisce con:

$(0.6a−0.8b)$ e $(0.8a+0.6b)$.

É possibile dopo alcuni passaggi ottenere:

${x,y,z}$ con $|x−4|$, $|y−6|$, $|z−12|$ tutti minori di $\frac{1}{\sqrt{3}}$?

[Quinzio]

Carino come problema.

La terna di numeri puo' essere considerata come un punto nello spazio $RR^3$ e il passaggio $ (0.6a−0.8b) $ e $ (0.8a+0.6b) $ puo' essere visto come una rotazione del punto attorno a uno degli assi principali.
Infatti la matrice

$( ( 0.6 , -0.8 ),( 0.8 , 0.6 ) ) $

ha determinante uguale a $1$.
Il punto quindi si muove su una sfera di raggio $sqrt{12^2+4^2+3^2} = 13$.

D'altra parte i punti $ {x,y,z} $ rappresentano un cubo.
Il punto piu' vicino alla sfera e' il vertice del cubo ${4-1/sqrt3, 6-1/sqrt3, 12-1/sqrt3 }$
che la cui distanza dal centro e' $sqrt{197 - 44/sqrt3 }$.

Siccome $13 < sqrt{197 - 44/sqrt3 }$, abbiamo che il punto non potra' mai "entrare" nel cubo e quindi non c'e' modo di risolvere il problema.

[Cosimo.14]