Matematicamente

Si provi che il gruppo fondamentale del complementare di due punti in $\mathbb{P}^2(RR)$ è il gruppo libero con $2$ generatori. Abbiamo che $\mathbb{P}^2(RR)$ è omeomorfo a $D^2//~~$ dove $~~$ è la relazione di antipodalità sul bordo. Consideriamo gli aperti $A$ e $B$ nel disegno (la freccia indica la relazione di antipodalità del bordo e $x_0inAnnB$ e $x_1$ sta sul bordo di ...

Sia $G$ un gruppo abeliano finitamente generato. Si costruisca uno spazio topologico $X$ compatto, connesso per archi, T2 e tale che il gruppo fondamentale di $X$ sia isomorfo a $G$. Inzialmente (dato che questo esercizio si trova nella sezione "Quozienti di poligoni") volevo in qualche modo trovare una relazione che legasse $G$ con $X$ assumendo $X$ come poligono (tipo un azione di gruppo), ma ...

Ciao a tutti, è possibile avere una dimostrazione sul perché le potenze con esponente reale positivo non sono definite se la base della potenza è negativa? Anche nel caso l'esponente sia razionale ci sono le stesse restrizioni, ma come riportato qui è possibile estendere la definizione, sotto determinate condizioni, anche ai numeri negativi.

Una giraffa ha il collo lungo 2 m. Calcolare la differenza di pressione idrostatica nel sangue, in Pa, tra le spalle e la testa della giraffa quando il collo forma un angolo di 30° con la verticale. La densità relativa (rispetto all'acqua) del sangue è 1.06. Stabilisco che p1 (pressione spalle) sia a quota zero e calcolo a quale quota giace p2 (pressione testa). $sin(30°) = h/2$ $h = 1 m$ $p = d * g * h$ $p = 1.06*10^3 * 10 * 1 = 10600 Pa$ In questa circostanza, la pressione atmosferica va ...

Buonasera. Mi è sorto un dubbio sulle condizioni di esistenza di questa potenza a base variabile. $x^(1/2+3/2)$ Qui la condizione di esistenza è X>0 oppure non c'è alcuna condizione di esistenza? Perché vista così potrebbe avere come condizione X>0, perché ha esponente frazionario. Tuttavia risolvendo la somma all'esponente è uguale a 2, quindi sarebbe $x^2$, con X che può variare in R? Non so se mi sono spiegato bene, potreste darmi una mano? Grazie a tutti.

Buongiorno. mi trovo questo semplice problema di geometria che però è scritto senza punteggiatura (compiti delle vacanze). Ho un dubbio interpretativo; il testo è il seguente "Le basi di un trapezio isoscele misurano rispettivamente 90 cm e 114 cm; calcola la misura del perimetro sapendo che l'area è $1632 cm^2 $. Calcola altresì il rapporto tra il perimetro del trapezio e il perimetro del quadrato equivalente al trapezio" la parte evidenziata è quella dubbiosa. L'esercizio intende ...

ecco il problema in un piccolo lago, si vede emergere dall'acqua un piccolo fiore di loto. il fiore è in cima al fusto della pianta, che ha le radici nel fondo del lago. il fusto, in posizione verticale, emerge dall'acqua di 20 cm. sospinto dal vento, il fusto si sposta, senza piegarsi, finchè la cima del fusto viene a trovarsi esattamente sulla superficie dell'acqua: in questa posizione il fiore si trova a 80 cm dalla posizione verticale. qual è la profondità dell'acqua del lago nel punto in ...

Buongiorno, ho i seguenti valori .... 2020 / 3.064.937 2021 / 3.165.246 / + 3.27% 2022 / 3.272.232 / + 3.38% Vorrei avere la variazione percentuale media. Dal punto di vista del rigore, ho (3.27+3.38)/2 è = 3.32% ; un obrobrio dato che le basi di calcolo del valore percentuale sono diverse anche se nella pratica funzionerebbe. Ho applicato il CGAR Compounded Average Growth Rate ma ottengo un valore di 1.68% che non rispecchia ciò che vorrei ai fini previsionali per prevedere il 2023. ...

Buonasera, sto affrontando il seguente esercizio: $(0,0)$ è un punto di minimo locale per la funzione $f(x,y)=(x^2+y^2)^2(y-x^4-\alpha)$ con $\alpha \in R$ se e solo se: A. $\alpha < 0$ B. $\alpha > 0$ C. $\alpha \geq 0$ D. $\alpha \leq 0$ Ragionando sulla definizione di estremo mi occorre scrivere un sistema dove sia $\grad f (0,0) = 0$, il determinante della matrice Hessiana non negativo e l'elemento $h_{11} > 0$. Ho provato a calcolare tutte le derivate necessarie, più e più ...

Buongiorno, qualcuno sa risolvere questo integrale improprio?

Ciao, mi sono imbattuta in un esercizio che non so risolvere e vorrei proporvelo; la richiesta è trovare un'identificazione da \[ [0,1]^3 \] a \[ S^2xS^1 \] entrambi muniti della topologia euclidea. Credo che per l'ultima coordinata sia sufficiente usare $(\cos(2\pi t), \sin(2\pi t))$ (se così non è, correggetemi), mentre mi da' problemi la prima parte dal quadrato alla sfera.

Salve a tutti, sto avendo difficoltà con il seguente esercizio: Determina il polinomio di Taylor di ordine 3 nel punto $x_0=0$ di: $log(e^(2x)-sinx)$ Ho pensato di raccogliere per $e^(2x)$ e trovare $2x + log(1+(-sinx/(e^(2x))))$ porre $ y=-sinx/(e^(2x))$ e usare lo sviluppo del logaritmo. E poi? come dovrei gestire il seno e l'esponenziale? Li sviluppo e basta? vien fuori una mezza schifezza. Tutto nella norma? A conti fatti dovrei avere $log(1+y) = y -1/2y^2 +1/3y^3 + o(y^3)$. Invece sviluppando ...

Ciao, vi inoltro un esercizio datomi dal professore di topologia in cui sto trovando alcune difficoltà: definiti $\Pi_j={(x,y,z)\in \mathbb{R}^3|z=j}$ e $Z={(x,y,z)\in \mathbb{R}^3|z\in(-1,1), x=y=5}$ (che dovrebbe essere un segmento verticale) viene dato lo spazio $X\subset \mathbb{R}^3$ che è dato da quest'unione $X={(x,y,z)\in \mathbb{R}^3|x^2+y^2+z^2<1}\cup Z \cup \Pi_1 \cup \Pi_-1 \cup (\cup_{n\in\mathbb{N}, n\ne 0} \Pi_{1+1/n})$ Ho dimostrato che X non è connesso e che $\pi_0(X)$ ha un'infinità numerabile di componenti, mi chiede ora di determinare l'insieme dei punti che hanno un sistema fondamentale di intorni semplicemente connessi e ...

Sia $rsupRR^3$ una retta e sia $CsupRR^3$ una circonferenza. Si ponga $X = RR^3\\(ruuC)$. Nel caso particolare in cui $r = {(0, 0, z) | zinRR}$ e $C = {(x, y, 0) | x^2 + y^2 = 1}$, si provi che $X$ si retrae per deformazione sul toro $2$-dimensionale ottenuto ruotando la circonferenza ${(x, 0, z)|(x − 1)^2 + z^2 =1/4}$ intorno all’asse $z$. Si determini il gruppo fondamentale di $X$. Io avevo pensato di fare così: sia $(x',y',0)inC$ consideriamo il semipiano che ...

Sia $n>= 1$ un intero. Si consideri lo spazio proiettivo reale $n$-dimensionale $\mathbb{P}^n(RR)$. Si consideri il punto $p = [0 : ... : 0 : 1]in\mathbb{P}^n(RR)$ e la $n$-esima carta affine standard $U_n = {[x_0 : ... : x_n]in\mathbb{P}^n(RR)| x_n!=0}$ di $\mathbb{P}^n(RR)$. Fissato $p_0inU_n\\{p}$, si studi l’omomorfismo di gruppi $f:pi_1(U_n\\{p}, p_0)->pi_1(\mathbb{P}^n(RR)\\{p}, p_0)$ indotto dall’inclusione $U_n\\{p}->\mathbb{P}^n(RR)\\{p}$. Sappiamo che $U_n\\{p}$ è omotopicamente equivalente a $S^(n-1)$ per cui è semplicemente connesso, ma ...

Buonasera, ho un problema con questo esercizio ma sembra che sono abbastanza vicino alla soluzione, devo aver avuto qualche dimenticanza. Un protone (m = 1,7 10-27 kg; q = 1,6 10-19 C) entra perpendicolarmente con velocità pari a c/10 in una regione di spazio profonda d = 10 cm in cui incontra un campo magnetico uniforme B = 1 T perpendicolare alla traiettoria d'ingresso. Determinare l'angolo fra la traiettoria in ingresso e quella in uscita. Ho cominciato osservando che ...

Sia $n>=1$ un intero. Siano $EsubeRR^2$ un sottoinsieme di cardinalità $n$. Si provi che $RR^2\\E$ è omotopicamente equivalente a un bouquet di $n$ circonferenze. A meno di traslare gli $n$ punti possiamo posizionarli in modo equispaziato su $S^1$ nel piano $RR^2$. Dividiamo il piano $RR^2$ in $n$ parti uguali ognuno contenente uno solo tra questi $n$ punti, in ...

Si provi che il complementare di un punto in $S^1xxS^1$ è omotopicamente equivalente al bouquet di $2$ circonferenze $S^1 ∨ S^1$. Abbiamo che $S^1xxS^1$ è omeomorfo al quoziente $([0, 1]xx [0, 1])/ /∼$ dove $∼$ è la relazione di equivalenza sul quadrato $[0, 1]xx[0, 1]$ generata da $(x, 0) ∼ (x, 1)$ e $(0, y) ∼ (1, y)$ al variare di $x, yin[0, 1]$. A meno di traslazione possiamo considerare il punto interno al quadrato $[0, 1]xx[0, 1]$, così da ...

Buon pomeriggio a tutti. Mi trovo ad affrontare un esercizio che, al contrario di altri, mi sta veramente dando delle grane, mi sento davvero incapace! L'esercizio è il seguente: si ha la funzione \[ f(x, y) = \begin{cases} x & y < x^3 \\ y & y \geq x^3 \end{cases} \] Mi viene chiesto di determinare i punti in cui $f$ è continua, i punti in cui esistono le derivate parziali e i punti in cui è differenziabile. Ora, io ho capito un po' com'è il grafico: sono due piani che vengono ...

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