Punto di estremo con parametro
Buonasera, sto affrontando il seguente esercizio:
$(0,0)$ è un punto di minimo locale per la funzione $f(x,y)=(x^2+y^2)^2(y-x^4-\alpha)$ con $\alpha \in R$ se e solo se:
A. $\alpha < 0$
B. $\alpha > 0$
C. $\alpha \geq 0$
D. $\alpha \leq 0$
Ragionando sulla definizione di estremo mi occorre scrivere un sistema dove sia $\grad f (0,0) = 0$, il determinante della matrice Hessiana non negativo e l'elemento $h_{11} > 0$.
Ho provato a calcolare tutte le derivate necessarie, più e più volte ma inserendo le coordinate $(x=0, y=0)$ risultano le derivate prime nulle $\forall \alpha \in R$ e tutti gli elementi della matrice $H_f(0,0)$ risultano nulli.
Qualcuno saprebbe dirmi dove sbaglio?
$(0,0)$ è un punto di minimo locale per la funzione $f(x,y)=(x^2+y^2)^2(y-x^4-\alpha)$ con $\alpha \in R$ se e solo se:
A. $\alpha < 0$
B. $\alpha > 0$
C. $\alpha \geq 0$
D. $\alpha \leq 0$
Ragionando sulla definizione di estremo mi occorre scrivere un sistema dove sia $\grad f (0,0) = 0$, il determinante della matrice Hessiana non negativo e l'elemento $h_{11} > 0$.
Ho provato a calcolare tutte le derivate necessarie, più e più volte ma inserendo le coordinate $(x=0, y=0)$ risultano le derivate prime nulle $\forall \alpha \in R$ e tutti gli elementi della matrice $H_f(0,0)$ risultano nulli.
Qualcuno saprebbe dirmi dove sbaglio?
Risposte
Non sbagli, ma questo è un problema costruito ad hoc e dove l'approccio "classico" non fornisce risultati conclusivi, ed è necessario un ragionamento differente.
Se $alpha ne 0$ allora in un intorno di (0,0) $f(x,y) approx -alpha * (x^2+y^2)^2$ e quindi (0,0) è di minimo se $alpha < 0$
Se $alpha = 0$ allora $y=x^4$ divide la regione attorno a (0,0) in zone a valore positivo, negativo e nullo,
Quindi è impossibile che si tratti di un minimo locale perchè essendo f(0,0) = 0, f(x,y) dovrebbe essere sempre positiva in un intorno di (0,0)
Analogamente non può essere di massimo e quindi si tratta di un punto sella. In conclusione direi risposta A.
Se $alpha ne 0$ allora in un intorno di (0,0) $f(x,y) approx -alpha * (x^2+y^2)^2$ e quindi (0,0) è di minimo se $alpha < 0$
Se $alpha = 0$ allora $y=x^4$ divide la regione attorno a (0,0) in zone a valore positivo, negativo e nullo,
Quindi è impossibile che si tratti di un minimo locale perchè essendo f(0,0) = 0, f(x,y) dovrebbe essere sempre positiva in un intorno di (0,0)
Analogamente non può essere di massimo e quindi si tratta di un punto sella. In conclusione direi risposta A.
Ok, il ragionamento generale è chiaro e ti ringrazio.
Due domande però.
Perchè parti prendendo solo $f(x,y) approx - alpha * (x^2+y^2)^2$? Cosa ti permette di togliere il resto della parentesi e ragionare su questo prodotto?
Da dove trovi quel $y=x^4$? Penserei che inserendo le coordinate del punto risulta $f(0,0)=0$ e quindi le due parentesi devono per forza annullarsi. Se anche $alpha=0$ giustamente la seconda parentesi diventa $(y-x^4)=0$ e trovo $y=x^4$.
Da qui so che esistono le tre zone (positiva, negativa, nulla) perchè $(x^2+y^2)^2 > 0 $ ovunque tranne l'origine per cui la funzione assumerà il segno di $(y-x^4)$: sopra la parabola positivo e sotto negativo.
Ti ho seguito correttamente?
Due domande però.
"ingres":
Se $alpha ne 0$ allora in un intorno di (0,0) $f(x,y) approx -alpha * (x^2+y^2)^2$ e quindi (0,0) è di minimo se $alpha < 0$
Perchè parti prendendo solo $f(x,y) approx - alpha * (x^2+y^2)^2$? Cosa ti permette di togliere il resto della parentesi e ragionare su questo prodotto?
"ingres":
Se $alpha = 0$ allora $y=x^4$ divide la regione attorno a (0,0) in zone a valore positivo, negativo e nullo,
Quindi è impossibile che si tratti di un minimo locale perchè essendo f(0,0) = 0, f(x,y) dovrebbe essere sempre positiva in un intorno di (0,0)
Da dove trovi quel $y=x^4$? Penserei che inserendo le coordinate del punto risulta $f(0,0)=0$ e quindi le due parentesi devono per forza annullarsi. Se anche $alpha=0$ giustamente la seconda parentesi diventa $(y-x^4)=0$ e trovo $y=x^4$.
Da qui so che esistono le tre zone (positiva, negativa, nulla) perchè $(x^2+y^2)^2 > 0 $ ovunque tranne l'origine per cui la funzione assumerà il segno di $(y-x^4)$: sopra la parabola positivo e sotto negativo.
Ti ho seguito correttamente?
"neperoz":
Cosa ti permette di togliere il resto della parentesi e ragionare su questo prodotto?
Ci sono diversi modi per vedere questo arrangiamento dei termini. Ad es. ci si può basare sul fatto che lo sviluppo in serie di Taylor di un prodotto di due termini può essere eseguito sviluppando in serie i singoli termini e moltiplicandoli tra loro e nel ns. caso è indubbio che $-alpha$ sia lo sviluppo all'ordine zero del secondo termine. Posso peraltro fare anche a meno di sviluppare, osservando che per il T della permanenza del segno
$y-x^4-alpha$ assumerà lo stesso segno di $-alpha$ in un intorno di (0,0).
"neperoz":
Ti ho seguito correttamente?
Si, corretto.
Perfetto! Grazie mille ingres, buona giornata 
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