Condizioni di esistenza

[Massimo314]

Buonasera. Mi è sorto un dubbio sulle condizioni di esistenza di questa potenza a base variabile.

$x^(1/2+3/2)$

Qui la condizione di esistenza è X>0 oppure non c'è alcuna condizione di esistenza? Perché vista così potrebbe avere come condizione X>0, perché ha esponente frazionario. Tuttavia risolvendo la somma all'esponente è uguale a 2, quindi sarebbe $x^2$, con X che può variare in R? Non so se mi sono spiegato bene, potreste darmi una mano? Grazie a tutti.

[moccidentale]

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[axpgn]

L'ho vista ieri sera ma non ho risposto perché non ne posso più ...

[moccidentale]

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[Massimo314]

"sellacollesella":Ciao maxxi, per quanto possa sembrare assurdo o addirittura stupido, questa è una di quelle domande che ha fatto discutere moltissimo e, volendo rimanere nell'ambito di questo forum, possiamo trovare una discussione relativamente recente (click) oppure qualcosa di più stagionato (click).

Alla luce di tutto ciò, la cosa più sensata è capire a quale definizione fare riferimento e solo tu puoi sapere quale sia quella adottata dal tuo docente di matematica o dal libro di testo da voi adottato. Ad esempio, io ho qui sotto mano Analisi Matematica - Bertsch, Dal Passo, Giacomelli - McGraw-Hill che, seppur sia un libro universitario, a noi basta leggere un paragrafetto che si trova in Parte I - Elementi di base >> Capitolo 1 - Introduzione >> 1.3 Numeri reali >> 1.3.3 Radici, potenze e logaritmi che non ha nulla di "universitario".

Nella fattispecie, dopo l'enunciato del Teorema 1.11:

Siano \(y \in \mathbb{R}\), \(y \ge 0\), \(n \in \mathbb{N}\), \(n \ge 1\). Allora esiste uno e uno solo \(x \in \mathbb{R}\), \(x \ge 0\), tale che \(x^n=y\).
Tale numero reale \(x\) viene indicato con i simboli \(\sqrt[n]{y}\) o \(y^{\frac{1}{n}}\) e si chiama radice n-esima di \(y\).

si trova quest'altro paragrafetto che riporto testualmente:

L'operazione di elevamento a potenza, in simboli \(a^r\) ("\(a\) elevato a \(r\)"; \(a\) si dice base e \(r\) esponente), è ben nota quando \(r \in \mathbb{Z}\) e \(a \in \mathbb{R} \backslash\{0\}\); se \(r\) è un intero positivo, allora \(0^r := 0\). Per esempio \(a^3 = a \cdot a \cdot a\), \(a^{-5} = 1/a^5\), \(a^0 = 1\). Se l'esponente \(r \in \mathbb{Q}\), \(r = m/n\) con \(m,n \in \mathbb{Z}\) e \(n > 0\), \(a^r\) è definita \(\forall \, a \in \mathbb{R}^+\) (se \(r > 0\) e \(a=0\), allora \(a^r := 0\)) come segue: \[
a^r = a^{\frac{m}{n}} := \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = \left(a^m\right)^{\frac{1}{n}},
\] dove \(a^{\frac{1}{n}}\) denota \(\sqrt[n]{a}\), la radice n-esima di \(a\), definita dal Teorema 1.11. Si osservi che la condizione \(a \in \mathbb{R}^+\) implica che la definizione di elevamento a potenza con esponente razionale non dipende dalla rappresentazione del numero razionale \(r\), cioè: \[
a>0 \quad \text{e} \quad k \in \mathbb{N}\backslash\{0\} \quad \Rightarrow \quad a^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{km}{kn}}
\] (per esempio \(8^{\frac{1}{3}} = 2 = 8^{\frac{2}{6}}\)), e che effettivamente \(\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = \left(a^m\right)^{\frac{1}{n}}\); ovvero si può scambiare l'ordine delle operazioni. Se \(n\) è dispari la definizione di elevamento a potenza può essere estesa al caso di base \(a<0\).

Pertanto, sulla scorta di quanto scritto, la catena di uguaglianze: \[
x^{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}} = x^{\frac{4}{2}} = x^2
\] è valida per qualsiasi \(x \ge 0\), che è la condizione di esistenza da te richiesta.

Grazie mille per avermi risposto. Anch'io avevo pensato che come condizione di esistenza fosse più corretta X>0. Tuttavia il dubbio mi è sorto quando rappresentando la funzione su Geogebra venivano assegnati anche i valori negativi della variabile X. Grazie per avermi risposto nonostante la "banalità" della domanda.

[moccidentale]

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[axpgn]

Se questa non è una persecuzione!