Contratto di lavoro - SNS 1971
"In occasione di un rinnovo del contratto di lavoro, i rappresentanti sindacali ottengono che, oltre al riposo domenicale, i dipendenti di un'azienda godano di una vacanza ogni quattro giorni e di una vacanza ogni dieci giorni quale premio di operosità. Il contratto va in vigore il primo giorno di un anno che cade di lunedì. Calcolare in quali giorni dell'anno accadrà, per la prima volta, che per effetto di questo accordo e dei riposi domenicali, i dipendenti godranno di tre giorni di vacanza consecutivi."
Volevo chiedere dei miglioramenti alla mia risoluzione.
I riposi settimanali sono rappresentati da $7*y$, la vacanza ogni quattro giorni da $5*x$, la vacanza ogni dieci giorni da $11*z$. Innanzitutto ho calcolato questi giorni di vacanza, e ho visto che i tre giorni consecutivi che cerco sono il 20,21,22 gennaio, e ho anche dedotto quindi che prima venisse il giorno $5*x$, poi il $7*y$ e infine $11*z$. Allora ho impostato le due equazione diofantee:
$7*y=5*x+1$
$11*z=7*y+1$
che ho risolto (col metodo di Eulero) ottenendo giustamente, $x=4$, $y=3$, $z=2$.
Quello che volevo chiedere è se c'era un modo per capire come i tre numeri ($7*y$, $5*x$, $11*z$) fossero messi in ordine (quale fosse il consecutivo dell'altro) senza sapere prima come cadevano.. Avrei dovuto provare tutti i modi di ordinarli?
Grazie.
Volevo chiedere dei miglioramenti alla mia risoluzione.
I riposi settimanali sono rappresentati da $7*y$, la vacanza ogni quattro giorni da $5*x$, la vacanza ogni dieci giorni da $11*z$. Innanzitutto ho calcolato questi giorni di vacanza, e ho visto che i tre giorni consecutivi che cerco sono il 20,21,22 gennaio, e ho anche dedotto quindi che prima venisse il giorno $5*x$, poi il $7*y$ e infine $11*z$. Allora ho impostato le due equazione diofantee:
$7*y=5*x+1$
$11*z=7*y+1$
che ho risolto (col metodo di Eulero) ottenendo giustamente, $x=4$, $y=3$, $z=2$.
Quello che volevo chiedere è se c'era un modo per capire come i tre numeri ($7*y$, $5*x$, $11*z$) fossero messi in ordine (quale fosse il consecutivo dell'altro) senza sapere prima come cadevano.. Avrei dovuto provare tutti i modi di ordinarli?
Grazie.
Risposte
Perdona la mia infinita ignoranza, ma che cos'è il metodo di Eulero? Io sono fermo a Bezout per le diofantee...GRAZIE.
http://www.dma.unifi.it/~mugelli/altro/ ... ofanto.htm
Se scendi al punto 2 di questo link trovi il metodo di Eulero che ho usato, giusto per il fatto che l'ho trovato un po' più semplice di Bezout..
Se scendi al punto 2 di questo link trovi il metodo di Eulero che ho usato, giusto per il fatto che l'ho trovato un po' più semplice di Bezout..
Grazie mille.
per quanto riguarda l'individuazione dell'ordine dei tre numeri consecutivi sai dirmi altro?
Dunque, mi pare ci sia un piccolo errore nel tuo primo post, perchè se non sbaglio la terna che risolve le diofantee dovrebbe essere $(4,3,2)$ (penso che sia solo un errore tipografico, ma tu hai scritto $z=1$, che personalmente non mi torna).
Per quanto riguarda l'ordine, non credo cambi molto con le altre configurazioni, ma non saprei come dimostrarlo. Tutto ciò che noto (ed è molto intuitivo, perdonami) è che l'ordine $(5x, 7y, 11z)$ coincide con l'ordine dei coefficienti $(5,7,11)$. Può servire a qualcosa questa mia stupida considerazione?
Grazie.
Per quanto riguarda l'ordine, non credo cambi molto con le altre configurazioni, ma non saprei come dimostrarlo. Tutto ciò che noto (ed è molto intuitivo, perdonami) è che l'ordine $(5x, 7y, 11z)$ coincide con l'ordine dei coefficienti $(5,7,11)$. Può servire a qualcosa questa mia stupida considerazione?
Grazie.
scusate, ma siete certi che "ogni 4 giorni" significhi "dopo 4 giorni", cioè, per come la vedo io, "ogni 5 giorni"? idem per 10 ...
"Paolo90":
Dunque, mi pare ci sia un piccolo errore nel tuo primo post, perchè se non sbaglio la terna che risolve le diofantee dovrebbe essere $(4,3,2)$ (penso che sia solo un errore tipografico, ma tu hai scritto $z=1$, che personalmente non mi torna).
Sì ho sbagliato a scrivere la soluzione..
"adaBTTLS":
scusate, ma siete certi che "ogni 4 giorni" significhi "dopo 4 giorni", cioè, per come la vedo io, "ogni 5 giorni"? idem per 10 ...
No, non sono affatto sicura. Mi sono basata sull'idea che fosse "una vacanza ogni 4 giorni di lavoro, o almeno di presunto lavoro". Però effettivamente non credo che ci sia un modo per avere la certezza che è così che vada inteso.
Solo che nel caso che tu dici, i due coefficienti sarebbero $4*x$ e $10*z$, che non essendo primi fra loro impedirebbero all'equazione diofantea di avere risultati, o sbaglio?
stiamo lavorando su ipotesi anche sul metodo di risoluzione...
in generale bisogna prima chiarire il testo, e poi scegliere il metodo di risoluzione, mi pare.
piuttosto tu parlavi di risultato corretto... il risultato magari potrebbe far scartare un'interpretazione per incompatibilità. che cosa sai a proposito del risultato?
in generale bisogna prima chiarire il testo, e poi scegliere il metodo di risoluzione, mi pare.
piuttosto tu parlavi di risultato corretto... il risultato magari potrebbe far scartare un'interpretazione per incompatibilità. che cosa sai a proposito del risultato?
Io ho ottenuto il risultato $x=4$, $y=3$, $z=2$, ma chiaramente è il risultato per la mia interpretazione di "ogni 4 giorni" e "ogni 10 giorni".
quindi la "correttezza" si basa sulla verifica diretta "calendario alla mano", e francamente mi sembra un po' troppo banale (o almeno con numeri troppo piccoli da rendere banale la verifica diretta), almeno se rapportato ad altri problemi della serie postati da te.
Sì infatti.. Sono completamente d'accordo.
Allora, ripartendo da zero:
1) Innanzitutto dovremmo capire cosa intende con esattezza il problema con "ogni 4 giorni" e "ogni 10 giorni", e se non riusciamo a venirne a capo dal testo del problema, possiamo provare a risolvere il problema con entrambe le interpretazioni
2) Una volta capiti i coefficienti da assegnare, dobbiamo impostare le equazioni diofantee collegate, capendo quale sia l'ordine consecutivo dei tre giorni
3) Dobbiamo risolvere le equazioni.
Allora adesso imposto il problema anche nell'altra interpretazione. La cosa che però non so come affrontare è come capire quale sia l'ordine dei tre giorni consecutivi, e come faccio a capirlo senza andare a tentativi..
Hai qualche idea a riguardo?
Allora, ripartendo da zero:
1) Innanzitutto dovremmo capire cosa intende con esattezza il problema con "ogni 4 giorni" e "ogni 10 giorni", e se non riusciamo a venirne a capo dal testo del problema, possiamo provare a risolvere il problema con entrambe le interpretazioni
2) Una volta capiti i coefficienti da assegnare, dobbiamo impostare le equazioni diofantee collegate, capendo quale sia l'ordine consecutivo dei tre giorni
3) Dobbiamo risolvere le equazioni.
Allora adesso imposto il problema anche nell'altra interpretazione. La cosa che però non so come affrontare è come capire quale sia l'ordine dei tre giorni consecutivi, e come faccio a capirlo senza andare a tentativi..
Hai qualche idea a riguardo?
Posto intanto i risultati per la prima interpretazione, cioè "dopo 4 giorni", e "dopo 10 giorni". Ho fatto i calcoli per tutti e sei gli ordini possibili per quei giorni consecutivi. Ora li scrivo nell'ordine:
1) $5*x$, $7*y$, $11*z$. Soluzioni: $x=4$,$y=3$,$z=2$ (20°,21°,22° giorno dell'anno)
2) $5*x$, $11*z$, $7*y$. Soluzioni: $x=57$,$y=41$,$z=26$ (285°,286,287° giorno dell'anno)
3) $7*y$, $5*x$, $11*z$. Soluzioni: $x=24$,$y=17$,$z=11$ (119°,120°,121° giorno dell'anno)
4) $7*y$, $11*z$, $5*x$. Soluzioni: $x=20$,$y=15$,$z=9$ (98°,99°,100° giorno dell'anno)
5) $11*z$, $5*x$, $7*y$. Soluzioni: $x=53$,$y=38$,$z=24$ (264°,265°,266° giorno dell'anno)
6) $11*z$, $7*y$, $5*x$. Soluzioni: $x=73$,$y=52$,$z=33$ (363°,364°,365° giorno dell'anno)
(ho risolto prima le due equazioni diofantee (ad es. $11*z=7*y+1$ e $7*y=5*x+1$ e poi ho risolto la terza equazione diofantea che ottenevo imponendo uguali le due espressioni dell'incognita presente in entrambe le equazioni precedenti - ad es. la $y$ - e quei valori mi permettevano di risolvere il "sistema" delle due diofantee iniziali)
In sostanza, sempre secondo questa interpretazione, gli operai hanno tutte queste vacanze di tre giorni consecutivi (sono tutte calcolate con i valori minimi delle variabili, e tali valori coprono tutto il primo anno), ma la prima che hanno (quello che il problema mi chiede) è quello del 20,21,22 gennaio, dove il primo giorno di vacanza è quello dopo i 4 giorni lavorativi, poi c'è la domenica, e poi dopo i 10 giorni lavorativi.
I calcoli per risolvere tutto questo sono tanti, e mi sta quasi facendo pensare che potesse essere legittimo cercare dapprima con uno schemetto (come avevo fatto io) la soluzione..
Ora inizio a fare i calcoli per la seconda interpretazione..
1) $5*x$, $7*y$, $11*z$. Soluzioni: $x=4$,$y=3$,$z=2$ (20°,21°,22° giorno dell'anno)
2) $5*x$, $11*z$, $7*y$. Soluzioni: $x=57$,$y=41$,$z=26$ (285°,286,287° giorno dell'anno)
3) $7*y$, $5*x$, $11*z$. Soluzioni: $x=24$,$y=17$,$z=11$ (119°,120°,121° giorno dell'anno)
4) $7*y$, $11*z$, $5*x$. Soluzioni: $x=20$,$y=15$,$z=9$ (98°,99°,100° giorno dell'anno)
5) $11*z$, $5*x$, $7*y$. Soluzioni: $x=53$,$y=38$,$z=24$ (264°,265°,266° giorno dell'anno)
6) $11*z$, $7*y$, $5*x$. Soluzioni: $x=73$,$y=52$,$z=33$ (363°,364°,365° giorno dell'anno)
(ho risolto prima le due equazioni diofantee (ad es. $11*z=7*y+1$ e $7*y=5*x+1$ e poi ho risolto la terza equazione diofantea che ottenevo imponendo uguali le due espressioni dell'incognita presente in entrambe le equazioni precedenti - ad es. la $y$ - e quei valori mi permettevano di risolvere il "sistema" delle due diofantee iniziali)
In sostanza, sempre secondo questa interpretazione, gli operai hanno tutte queste vacanze di tre giorni consecutivi (sono tutte calcolate con i valori minimi delle variabili, e tali valori coprono tutto il primo anno), ma la prima che hanno (quello che il problema mi chiede) è quello del 20,21,22 gennaio, dove il primo giorno di vacanza è quello dopo i 4 giorni lavorativi, poi c'è la domenica, e poi dopo i 10 giorni lavorativi.
I calcoli per risolvere tutto questo sono tanti, e mi sta quasi facendo pensare che potesse essere legittimo cercare dapprima con uno schemetto (come avevo fatto io) la soluzione..
Ora inizio a fare i calcoli per la seconda interpretazione..
adesso non ho tempo, ma sull'ordine penso che il testo sia chiaro:
la prima volta in cui ci sono 3 giorni consecutivi di "vacanza", indipendentemente dall'ordine, quindi bisogna considerare eventualmente tutti e 6 i casi (3!), e prendere quello in cui la terna "viene prima".
la prima volta in cui ci sono 3 giorni consecutivi di "vacanza", indipendentemente dall'ordine, quindi bisogna considerare eventualmente tutti e 6 i casi (3!), e prendere quello in cui la terna "viene prima".
Per me una vacanza ogni 4 giorni, significa che se ne lavorano 3 ed il quarto si fa festa. Anche comunemente parlando se si fa festa la domenica si dice "una festa alla settimana" oppure "una festa ogni 7 giorni". IMHO. 
Se cosi è, la prima terzina è:
48 (divisibile per 4)
49 (divisibile per 7)
50 (divisibile per 10)
ed il giorno piu' sfortunato ? il 20 maggio.
Se cosi è, la prima terzina è:
48 (divisibile per 4)
49 (divisibile per 7)
50 (divisibile per 10)
ed il giorno piu' sfortunato ? il 20 maggio.
"Umby":
Per me una vacanza ogni 4 giorni, significa che se ne lavorano 3 ed il quarto si fa festa. Anche comunemente parlando se si fa festa la domenica si dice "una festa alla settimana" oppure "una festa ogni 7 giorni". IMHO.
Se cosi è, la prima terzina è:
48 (divisibile per 4)
49 (divisibile per 7)
50 (divisibile per 10)
ed il giorno piu' sfortunato ? il 20 maggio.
Sì, anche il calcolo diofanteo mi da' questi risultati, anche se non ho svolto proprio tutti i calcoli.. Tu pensi che per risolvere questo esercizio correttamente si debbano svolgere tutti i calcoli oppure ci può essere un modo per giustificare il fatto di individuare prima la terna fortunata??
Beh sì, è uno giorno sfortunato, ma questi operai proprio non si possono lamentare
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