[EX] Un esercizietto divertente sulle serie
Come ben sappiamo, aggiungere/eliminare addendi nulli da una somma finita non ne altera il risultato.
La domanda che vorrei porvi è la seguente: si può estendere tale risultato alle "somme infinite", ossia alle serie numeriche?
In particolare, vi chiedo di dimostrare la seguente proposizione (da cui, per comodità, ho escluso il caso banale in cui una serie si riduce ad una somma finita):
Ad esempio, se:
$a_n:=sin (n/2pi)=\{(1, ", se " n\equiv_4 1),(0, ", se " n\equiv_4 0 " oppure " n\equiv_4 2),(-1, ", se " n\equiv_4 3):} \quad \quad \quad$ (cosicché $(a_n)=(0,1,0,-1,0,1,0,-1,\ldots ,0,1,0,-1,\ldots )$)
allora:
$alpha_n=sin ((2n+1)/2 pi)=\{(1, ", se " 2n+1\equiv_4 1),(-1, ", se " 2n+1\equiv_4 3):} \quad$ (cosicché $(alpha_n)=(1,-1,1,-1,\ldots, 1,-1,\ldots)$).
P.S.: Vi prego di notare l'ossimoro nel titolo.
La domanda che vorrei porvi è la seguente: si può estendere tale risultato alle "somme infinite", ossia alle serie numeriche?
In particolare, vi chiedo di dimostrare la seguente proposizione (da cui, per comodità, ho escluso il caso banale in cui una serie si riduce ad una somma finita):
Sia $(a_n) \subset RR$ una successione con infiniti termini non nulli e sia $(alpha_n)$ la successione estratta da $(a_n)$ costruita sopprimendo i termini nulli di $(a_n)$.
Dimostrare che le serie $\sum a_n$ e $\sum alpha_n$ hanno lo stesso carattere (ossia sono ambedue convergenti/divergenti/irregolari).
Ad esempio, se:
$a_n:=sin (n/2pi)=\{(1, ", se " n\equiv_4 1),(0, ", se " n\equiv_4 0 " oppure " n\equiv_4 2),(-1, ", se " n\equiv_4 3):} \quad \quad \quad$ (cosicché $(a_n)=(0,1,0,-1,0,1,0,-1,\ldots ,0,1,0,-1,\ldots )$)
allora:
$alpha_n=sin ((2n+1)/2 pi)=\{(1, ", se " 2n+1\equiv_4 1),(-1, ", se " 2n+1\equiv_4 3):} \quad$ (cosicché $(alpha_n)=(1,-1,1,-1,\ldots, 1,-1,\ldots)$).
P.S.: Vi prego di notare l'ossimoro nel titolo.
Risposte
Forse sono in errore ma non è una banalità? Le somme parziali coincidono...
In generale non è vero che $(s_n)=(sigma_n)$* (qui $s_n=\sum_(k=1)^n a_k$ e $sigma_n=\sum_(k=1)^n alpha_k$ sono le somme parziali $n$-esime).
Infatti per la successione proposta come esempio si ha $s_1=0!=1=sigma_1$, $s_2=1!=0=sigma_2$, etc...
Però qualcosa del genere si può dire; le due successioni $(s_n),(sigma_n)$ non sono proprio coincidenti, però sono "molto simili" (soprattutto se si guarda l'insieme dei valori che esse assumono).
__________
* L'uguaglianza è intesa nel modo seguente: $AA n in NN, s_n=sigma_n$.
Infatti per la successione proposta come esempio si ha $s_1=0!=1=sigma_1$, $s_2=1!=0=sigma_2$, etc...
Però qualcosa del genere si può dire; le due successioni $(s_n),(sigma_n)$ non sono proprio coincidenti, però sono "molto simili" (soprattutto se si guarda l'insieme dei valori che esse assumono).
__________
* L'uguaglianza è intesa nel modo seguente: $AA n in NN, s_n=sigma_n$.
E' una trapanata di c...i pazzesca. 
Secondo me ce l'hai con me 
per i miei ultimi commenti (non erano malevoli te lo giuro 
) sui tuoi post...
D'altra parte hai capito che di questi tempi non resisto a queste esche
e quindi eccomi qui, non mi sottraggo.
(forse saro' prolisso, ma te la sei cercata...)
Vediamo un po' - poniamo $NN_1 := {k\in NN: a_k\ne 0}$. Per ipotesi $NN_1$ e' infinito. Possiamo
enumerare $NN_1$ mediante una successione $\phi$ definita (ricorsivamente) da
$\phi(0):="min"{k: a_k\ne 0}$
$\phi(n+1):="min"{k:k>\phi(n), a_k\ne 0}"$.
Tale $\phi$ e' strettamente crescente ed e' una bigezione tra $NN$ e $NN_1$ che avra' una inversa,
$\phi^{-1}:NN_1\to NN$. Possiamo anche definire $t(n):="max"{k:k\leq n, k\in NN_1}$. Nota che
$t(n)\to+\infty$ per $n\to\infty$ (dato che $NN_1$ e' infinito) da cui
$\phi^{-1}\circ t:NN\to NN$ e'(debolmente ) crescente e tende all'infinito.
Quello che vuoi e' dimostrare che le due serie $\sum_{n=0}^\infty a_n$ e $\sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)}$ hanno lo stesso carattere e la stessa somma. Per vederlo poniamo
$s_n:=\sum_{j=0}^na_j$ e $\sigma_n:=\sum_{j=0}^na_{\phi(j)}$
(le rispettive somme parziali); allora
$\sigma_n=s_{\phi(n)}$ (per motivi evidenti)
per cui se la serie completa converge/diverge anche quella "epurata" converge/diverge e le somme sono le stesse.
D'altra parte $s_n=\sum_{k\leq n, k\in NN_1}a_k\leq \sum_{k\leq t(n), k\in NN_1}= \sigma_{\phi^{-1}(t(n)}}$
da cui (per i teoremi di cambio di variabile nel limite)
$lim_{n\to+\infty}s_n=\lim_{n\to+\infty}\sigma_{\psi^{-1}(t(n))}=\lim_{m\to+\infty}\sigma_m$
e quindi vale il viceversa.
Che premio ho vinto ??
Secondo me ce l'hai con me per i miei ultimi commenti (non erano malevoli te lo giuro ) sui tuoi post...D'altra parte hai capito che di questi tempi non resisto a queste esche
e quindi eccomi qui, non mi sottraggo.(forse saro' prolisso, ma te la sei cercata...)
Vediamo un po' - poniamo $NN_1 := {k\in NN: a_k\ne 0}$. Per ipotesi $NN_1$ e' infinito. Possiamo
enumerare $NN_1$ mediante una successione $\phi$ definita (ricorsivamente) da
$\phi(0):="min"{k: a_k\ne 0}$
$\phi(n+1):="min"{k:k>\phi(n), a_k\ne 0}"$.
Tale $\phi$ e' strettamente crescente ed e' una bigezione tra $NN$ e $NN_1$ che avra' una inversa,
$\phi^{-1}:NN_1\to NN$. Possiamo anche definire $t(n):="max"{k:k\leq n, k\in NN_1}$. Nota che
$t(n)\to+\infty$ per $n\to\infty$ (dato che $NN_1$ e' infinito) da cui
$\phi^{-1}\circ t:NN\to NN$ e'(debolmente ) crescente e tende all'infinito.
Quello che vuoi e' dimostrare che le due serie $\sum_{n=0}^\infty a_n$ e $\sum_{n=0}^\infty a_{\phi(n)}$ hanno lo stesso carattere e la stessa somma. Per vederlo poniamo
$s_n:=\sum_{j=0}^na_j$ e $\sigma_n:=\sum_{j=0}^na_{\phi(j)}$
(le rispettive somme parziali); allora
$\sigma_n=s_{\phi(n)}$ (per motivi evidenti)
per cui se la serie completa converge/diverge anche quella "epurata" converge/diverge e le somme sono le stesse.
D'altra parte $s_n=\sum_{k\leq n, k\in NN_1}a_k\leq \sum_{k\leq t(n), k\in NN_1}= \sigma_{\phi^{-1}(t(n)}}$
da cui (per i teoremi di cambio di variabile nel limite)
$lim_{n\to+\infty}s_n=\lim_{n\to+\infty}\sigma_{\psi^{-1}(t(n))}=\lim_{m\to+\infty}\sigma_m$
e quindi vale il viceversa.
Che premio ho vinto ??
"ViciousGoblin":
E' una trapanata di c...i pazzesca.
D'altra parte hai capito che di questi tempi non resisto a queste esche
(forse saro' prolisso, ma te la sei cercata...)
Ma nuoooo... Non era indirizzato a te questo thread, davvero.
I tuoi commenti li trovo molto istruttivi; sei uno di quelli da cui imparo sempre qualcosa di nuovo.
TivogliotantobbeneVG!
La questione è una di quelle che mi ha sempre intrigato parecchio, giacché di solito non si affronta mai compiutamente; pare una di quelle cose che tutti sanno ed usano, ma su cui nessuno si è mai soffermato a ragionare davvero.
Per questo l'ho proposta nel foro: diciamo, per stimolare una presa di coscienza collettiva di questo fatto.
"ViciousGoblin":
[Dimostrazione che non riporto]
Mi riservo di leggerla con calma e sangue freddo (anche perchè si avvicina molto a quella che avevo pensato io).
Però stasera me n'è venuta in mente un'altra, ispirata dal post di Luca.
Consideriamo le successioni $(s_n)$ e $(sigma_n)$: i loro sostegni $S$ e $\Sigma$, ossia le immagini in $RR$ rispettivamente delle applicazioni $n\mapsto s_n$ ed $n\mapsto sigma_n$, contengono praticamente gli stessi elementi (ciò si può dimostrare usando la tua $phi$ in qualche modo).
Visto che $S=\Sigma$, le due successioni hanno gli stessi punti limite e tanto basta per dire che esse hanno lo stesso carattere (la stessa somma se sono regolari).
Ti piace?
Aggiungo niente di nuovo, comunque, e con riferimento alle somma parziali delle due serie, definitivamente i termini delle due somme parziali sono gli stessi tranne alcune infinite ripetizioni, quindi cambia solo il valore di $N$ a partire dal quale entrambe soddisfano le stesse relazioni.
Caro Gugo ti ringrazio per non esserti offeso (in effetti se si fa una battuta a voce ci sono molte altre informazioni nella comunicazione che fanno capire le intenzioni -
scritta mediante un terminale c'era il rischio di ricevere un ammonimento per linguaggio scurrile) - pero' la battuta mi e' venuta spontanea
Tra l'altro e' buffo che la questione tecnica che hai posto mi ha sfiorato recentemente proprio a proposito della questione "assoluta convergenza implica convergenza" di cui si parlava ieri un un altro post.
Devi sapere che nel corso di Analisi 1 che tengo agli ingegneri faccio quella dimostrazione proprio dimostrando che convergono separatamente le due serie $\sum_n a_n^+$ e $\sum_n a_n^-$.
Ora, non piu' di una settimana fa, durante un orale, uno studente ha cominciato a espormi tale dimostrazione dicendo "studiamo separatamente la serie dei termini positivi e quella dei termini negativi" -
al che io, cavillosamente, ho osservato "beh, non e' proprio lo stesso mettere da una parte gli $a_n$ con $a_n\geq0$ rispetto ad ammazzare tutti gli $a_n$ con $a_n\leq0$, mettendo uno zero al loro posto".
Direi che il gap e' proprio nel risultato oggetto di questo thread - interessante (triplice) coincidenza (Dio esiste ??)
Garantisco poi che nessuno studente e' stato torturato - non ho chiesto al suddetto di formalizzare la differenza e mi sono accontentato del suo dignitosissimo commento.
Ma tornando un momento alla questione principale [tono serio/professorale]
Mi stai dicendo che date due successioni ${s_n}$ e ${\sigma_n}$ che abbiano la stessa immagine ($S:={s_n,n\in NN}={\sigma_n,n\in NN}=:\Sigma$) esse devono avere gli stessi punti limite ??
[tono di sorpresa/leggermente sarcastico/di disapprovazione]
AHI AHI AHI signora Longari
[tono normale/ricomposto]
Forse ho capito male?
scritta mediante un terminale c'era il rischio di ricevere un ammonimento per linguaggio scurrile) - pero' la battuta mi e' venuta spontanea
Tra l'altro e' buffo che la questione tecnica che hai posto mi ha sfiorato recentemente proprio a proposito della questione "assoluta convergenza implica convergenza" di cui si parlava ieri un un altro post.
Devi sapere che nel corso di Analisi 1 che tengo agli ingegneri faccio quella dimostrazione proprio dimostrando che convergono separatamente le due serie $\sum_n a_n^+$ e $\sum_n a_n^-$.
Ora, non piu' di una settimana fa, durante un orale, uno studente ha cominciato a espormi tale dimostrazione dicendo "studiamo separatamente la serie dei termini positivi e quella dei termini negativi" -
al che io, cavillosamente, ho osservato "beh, non e' proprio lo stesso mettere da una parte gli $a_n$ con $a_n\geq0$ rispetto ad ammazzare tutti gli $a_n$ con $a_n\leq0$, mettendo uno zero al loro posto".
Direi che il gap e' proprio nel risultato oggetto di questo thread - interessante (triplice) coincidenza (Dio esiste ??)
Garantisco poi che nessuno studente e' stato torturato - non ho chiesto al suddetto di formalizzare la differenza e mi sono accontentato del suo dignitosissimo commento.
Ma tornando un momento alla questione principale [tono serio/professorale]
Mi stai dicendo che date due successioni ${s_n}$ e ${\sigma_n}$ che abbiano la stessa immagine ($S:={s_n,n\in NN}={\sigma_n,n\in NN}=:\Sigma$) esse devono avere gli stessi punti limite ??
[tono di sorpresa/leggermente sarcastico/di disapprovazione]
AHI AHI AHI signora Longari
[tono normale/ricomposto]
Forse ho capito male?
Beh, sì... Ho azzardato un po' troppo. 
Dopotutto, anche $(-1,1,1,\ldots ,1,\ldots )$ e $(1,-1,1,\ldots , (-1)^n, \ldots)$ hanno lo stesso sostegno epperò...
Dopotutto, anche $(-1,1,1,\ldots ,1,\ldots )$ e $(1,-1,1,\ldots , (-1)^n, \ldots)$ hanno lo stesso sostegno epperò...
Farò una domanda sciocca, visto che sono un dilettante della matematica, ma, tutta questa discussione a cosa serve?
A far capire che non è tutto scontato quanto sembra?
"Marco512":
Farò una domanda sciocca, visto che sono un dilettante della matematica, ma, tutta questa discussione a cosa serve?
Beh puo' servire
1) a mettere in scena un simpatico siparietto tra me e gugo82.
2) a dare un'idea di cosa possa essere la matematica - almeno un modo di fare matematica (ho l'impressione che non tutti sarebbero d'accordo su "cos'e' la matematica"). Se segui fino in fondo certe premesse logico-formali ti imbatti in questo tipo di problemi. Ma se sei un appassionato vai per gradi e rivolgi la tua attenzione agli aspetti piu' "cool".
Non avevo più guardato il post causa convegno, e non avevo capito la tua definizione delle due successioni.... sì le somme parziali non sono esattamente uguali ma più o meno sì, una somma per una seria è una somma parziale dell'altra e viceversa quindi è solo un giochino di estrazioni come infatti hanno mostrato altri.
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