Spezzata dalla lunghezza minima - SNS 1969

[elios2]

"In un piano sono dati una retta $r$ e due punti $L$, $M$ fuori di essa. Inoltre è assegnata una lunghezza $a$. Determinare sulla retta $r$ due punti $H$, $K$ tali che il segmento $HK$ abbia lunghezza $a$ e sia minima la lunghezza della spezzata $LHKM$."

Ho provato a risolverlo trigonometricamente. Chiamando $l$ e $m$ le distanze di $L$ ed $M$ rispettivamente dalla retta $r$, e chiamando $x$ e $y$ l'angolo d'inclinazione rispetto alla verticale che i segmenti $LH$ e $MK$ formano, ho scritto che la lunghezza della spezzata da minimizzare si riduce a:
$LH+KM=l/(cosx)+m/(cosy)$
Contemporaneamente devo imporre che, chiamando $LM$ la distanza orizzontale (cioé lungo la retta $r$) fra $L$ e $M$, e chiamando $L'$ e $M'$ le proiezioni di $L$ e $M$ su $r$, risulti:
$L'H+a+KM'=LM$
$tgx*l+tgy*m+a=LM$.
Adesso dovrei sfruttare queste due equazioni per lasciare la funzione da minimizzare ad una sola variabile, però avendo i coseni da una parte e le tangenti dall'altra i calcoli si complicano..
Ci sono altre strade che potete consigliarmi di intraprendere? Grazie

[adaBTTLS1]

così facendo, tu dai per scontato che HK sia interno ad L'M', ma non è così.
forse si potrebbe partire proprio dal distinguere i tre casi ...
prova a ragionarci su, intanto ci penso anch'io ....

[elios2]

Beh, dato che si devono determinare i punti $H$ e $K$ affinché la lunghezza della spezzata sia minima, tali punti dovrebbero effettivamente trovarsi all'interno di L'K'.. Comunque provo a differenziare i casi..

[adaBTTLS1]

intendevo dire che $bar(L'M')$ può essere maggiore, uguale o minore di $a$.
io ho provato diverse strade.
una mi ha portato ad una soluzione (caso dei punti $L'HKM'$ in quest'ordine, con $bar(L'M')=b$), $bar(L'H)=(l(b-a))/(m+l)$.
la cosa è abbastanza elaborata, ma si potrebbe procedere analogamente per gli altri 3 casi non banali ($a != b$).

[elios2]

Come lo hai ricavato?
Perché dici che ci sono altri tre casi non banali? Il caso banale è $a=b$, in cui $H$ e $K$ sono le proiezioni di $L$ e $M$ lungo la retta. Poi ci sono i casi $ab$, quale altro?

[elios2]

Comunque la quantità da minimizzare nei due casi è sempre la stessa..

[elios2]

Di logica (e ho cercato di farne una dimostrazione molto molto grezza), $HK$ deve avvicinarsi al punto più lontano dalla retta (questo nel caso in cui $a

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[adaBTTLS1]

hai pensato ad esempio al caso in cui i punti si succedano nell'ordine $M'HKL'$, cioè, nel caso di $L,M$ nello stesso semipiano individuato da $HK$ venga una poligonale intrecciata?

[elios2]

beh, non credo che sia corretto come caso. Il problema è come se ci dicesse di calcolare la spezzata dati due punti e determinandone altri due. Credo che, avendo 4 punti, la spezzata sia quella che li collega senza "intrecciarsi", o mi sbaglio?

[adaBTTLS1]

sì, se dice di determinarli, hai ragione tu. io mi ero lasciata influenzare dal fatto che parlava di segmento $HK$ di lunghezza $a$.
in tal caso il problema è quasi risolto, perché nell'altro caso basta sostituire $b-a$ con $a-b$ ...

[franced]

"elios":"In un piano sono dati una retta $r$ e due punti $L$, $M$ fuori di essa. Inoltre è assegnata una lunghezza $a$. Determinare sulla retta $r$ due punti $H$, $K$ tali che il segmento $HK$ abbia lunghezza $a$ e sia minima la lunghezza della spezzata $LHKM$."

Osservazione scontata, ma la faccio:
se $a=0$ è il problema di Erone.

[elios2]

Mi spiegheresti come lo hai ricavato?

[adaBTTLS1]

non ho completato l'esercizio con l'altro caso analogo.
saltando il caso banale $a=b$, passo ad illustrare il caso specifico che mi ha portato a quel risultato. salto i passaggi, altrimenti ci metterei una vita a scrivere tutto in formule.
caso $a lunghezza spezzata:

$S=sqrt(l^2+x^2)+a+sqrt(m^2+(b-a-x)^2)$

cerco il minimo di questa funzione, per cui scrivo la derivata rispetto ad x:

$S'(x)=x/sqrt(l^2+x^2)-(b-a-x)/sqrt(m^2+(b-a-x)^2)$

ho provato in diversi modi a semplificare, ma l'unico modo che mi ha portato a qualcosa di utile è stato il seguente:

pongo $S'(x)>=0$
$x/sqrt(l^2+x^2) >= (b-a-x)/sqrt(m^2+(b-a-x)^2)$

$x>=0, b-a>=0$, c'è da distinguere i casi di $x>=b-a$ e $x
se $x>=b-a$ la disuguaglianza è sempre verificata .... funzione sempre non decrescente.

se $x=0 ^^ b-a=0$ sono in particolare entrambi i membri uguali a zero

se $0=x
esaminiamo il caso $0
$(x^2)/(l^2+x^2)>=(b-a-x)^2/(m^2+(b-a-x)^2)$

svolgendo i calcoli si arriva alla disequazione:

$(m^2-l^2)x^2+2l^2(b-a)x-l^2(b-a)^2>=0$

nel caso in cui $m=l$ è di primo grado e si ha un minimo per $x=(b-a)/2$

se $m != l$, scrivo le due radici:

$x_1=(l(b-a))/(m+l), x_2=(-l(b-a))/(m-l)$

se $m>l$, $x_2<0 dal confronto con il coefficiente del termine di secondo grado $m^2-l^2$, sapendo che il valore della x non può essere negativo, e sapendo che il segno della derivata prima ci serve per studiare l'andamento della funzione $S$, otteniamo in entrambi i casi che si ha un minimo per $x=x_1$.

prova un po' a rifare i conti. spero di essere stata chiara. ciao.

[elios2]

Sì è abbastanza chiaro, anche se le derivate non sono ancora familiari per me.. Una cosa: quindi questo procedimento di calcolo va ripetuto per il caso $a>b$?

[adaBTTLS1]

se si escludono gli altri casi (come la spezzata intrecciata), l'altro caso analogo ha la stessa formula di questo, solo scambiando $a-b$ con $b-a$.
la quantità da minimizzare sarebbe $sqrt(l^2+x^2)+a+sqrt(m^2+(a-b-x)^2)$, per cui i risultati sono prevedibili.
forse ti è utile rifarli per esercitarti sulle discussioni.

[elios2]

Ok. Cerco di impratichirmi, e tento di svolgerli.. Grazie!

[adaBTTLS1]

prego.

[giammaria2]

Supponiamo che L e M siano in semipiani diversi; se così non fosse, al posto di L consideriamo il suo simmetrico rispetto ad r e la spezzata non cambia. Da M traccio MP, uguale, parallelo ed equiverso a KH; HKMP è un parallellogramma quindi PH=KM. Si ha:
spezzata = LH+HK+KM = LH+a+PH
ed è minima quando lo è LH+PH, cioè quando H è sulla congiungente P con L.

[elios2]

H non può essere sulla congiungente P con L, perché deve trovarsi sulla retta r. Comunque ho capito il tuo ragionamento, in pratica si riduce al problema di Erone.. Qualcuno può confermare?

[adaBTTLS1]

io non mi trovo con lettere usate, però il ragionamento di giammaria è corretto.
io avevo interpretato il problema in maniera molto più complicata, e quindi avevo individuato sei casi distinti a partire dalle impostazioni iniziali che avevi dato tu, ma se chiede semplicemente una costruzione geometrica senza contemplare tutti quei casi, la costruzione di giammaria è perfetta.

[giammaria2]

"elios":H non può essere sulla congiungente P con L, perché deve trovarsi sulla retta r

Devi aver frainteso qualcosa: P e L sono in semipiani diversi, quindi PL interseca r.