Quadrato e non quadrato perfetto - SNS 1968
"Provare che il prodotto di quattro interi positivi consecutivi non è mai un quadrato perfetto e che aggiungendo al prodotto trovato 1 si ottiene sempre un quadrato perfetto"
La seconda parte è semplice: $n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = n^4+6n^3+11n^2+6n+1 = (n^2+3n+1)^2$.
Per quanto riguarda la prima parte, $n(n+1)(n+2)(n+3)$ è un quadrato perfetto se $n(n+2)=(n+1)(n+3)$ o se $n(n+1)=(n+2)(n+3)$ o se $n(n+3)=(n+1)(n+2)$.. Tali espressioni portano sempre ad equazioni impossibili o ad $n$ non interi.
Posso dimostrarlo in questo modo?
La seconda parte è semplice: $n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = n^4+6n^3+11n^2+6n+1 = (n^2+3n+1)^2$.
Per quanto riguarda la prima parte, $n(n+1)(n+2)(n+3)$ è un quadrato perfetto se $n(n+2)=(n+1)(n+3)$ o se $n(n+1)=(n+2)(n+3)$ o se $n(n+3)=(n+1)(n+2)$.. Tali espressioni portano sempre ad equazioni impossibili o ad $n$ non interi.
Posso dimostrarlo in questo modo?
Risposte
tu sei partita dalla seconda parte, e in questo modo hai definito infiniti quadrati perfetti, di cui il primo è 25.
ora parti da un numero che già sai come quadrato perfetto, $m=k^2, k in NN, k>=5$. è possibile che $m-1$ sia un quadrato perfetto?
ora parti da un numero che già sai come quadrato perfetto, $m=k^2, k in NN, k>=5$. è possibile che $m-1$ sia un quadrato perfetto?
dimostrato che $n(n+1)(n+2)(n+3) +1=c^2$ , $AAn in NN_0$ con $c inNN$ e $c>=5$,
allora otteniamo che $AA n in NN_0$ si ha che
$n(n+1)(n+2)(n+3)=c^2-1$ con $c in NN - {0,1,2,3,4}$
$AA c in NN - {0,1,2,3,4}$ si ha che $c^2-1$ non è un quadrato perfetto, e nemmeno lo è $n(n+1)(n+2)(n+3)$
Q.E.D.
allora otteniamo che $AA n in NN_0$ si ha che
$n(n+1)(n+2)(n+3)=c^2-1$ con $c in NN - {0,1,2,3,4}$
$AA c in NN - {0,1,2,3,4}$ si ha che $c^2-1$ non è un quadrato perfetto, e nemmeno lo è $n(n+1)(n+2)(n+3)$
Q.E.D.
Posso dire che $c^2-1$ non è un quadrato perfetto poiché $c^2-1=(c+1)(c-1)$, e $c+1$ non è mai uguale a $c-1$?
Più semplicemente sbattendo al posto di $c$ i valori $0,1,2,3,4$ in $c^2 - 1$ non ottieni mai un quadrato perfetto.
Ma sbaglio o devo dimostrare che $c^2-1$ non è un quadrato perfetto per tutti i valori di $c$ tranne 1,2,3,4, e non per questi valori?
ogni quadrato perfetto è somma di primi numeri dispari: $n^2=1+3+...+(2n-1)$.
la differenza tra due quadrati perfetti consecutivi è un numero dispari che diventa sempre maggiore all'aumentare di n: $(n+1)^2-n^2=2n+1$.
se $m=k^2, k>=5$ è un quadrato perfetto ($c^2$ è un quadrato perfetto), allora il più grande quadrato perfetto più piccolo di $m=k^2$ è $m-2k+1$, dunque, per $k>=2$, $k^2-1$ ($c^2-1$) non può essere un quadrato perfetto.
la differenza tra due quadrati perfetti consecutivi è un numero dispari che diventa sempre maggiore all'aumentare di n: $(n+1)^2-n^2=2n+1$.
se $m=k^2, k>=5$ è un quadrato perfetto ($c^2$ è un quadrato perfetto), allora il più grande quadrato perfetto più piccolo di $m=k^2$ è $m-2k+1$, dunque, per $k>=2$, $k^2-1$ ($c^2-1$) non può essere un quadrato perfetto.
"elios":
Posso dire che $c^2-1$ non è un quadrato perfetto poiché $c^2-1=(c+1)(c-1)$, e $c+1$ non è mai uguale a $c-1$?
No, è un errore concettuale
In generale, se hai un numero $a$ e vuoi mostrare che è un quadrato perfetto, se pure riuscissi ad ottenere una fattorizzazione $a=bc$ non è lecito imporre $b=c$ cioè $a=b^2$.
Basta vedere come, ad esempio
$36=12*3$ ma da qui a dire che $12$ è uguale a $3$...
A meno che non hai anche la straordinaria ipotesi che hai a che fare con il quadrato di un primo, e sia $b$ che $c$ siano diversi da $1$. Allora a quel punto a forza devi avere $b=c=p$ e $a=p^2$
Ciao!
Sì, ma nel caso specifico, cioè $c^2-1=(c+1)(c-1)$, so che questa è l'ultima fattorizzazione (non posso scomporlo ancora). In questo caso è lecito farlo?
perché?
prendi $c=7$. $48$ non si scompone solo come $6*8$.
prendi $c=7$. $48$ non si scompone solo come $6*8$.
Ah, giusto..! grazie
prego.
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