Foglio di carta illimitato - SNS 1962

[elios2]

Leggendo questo esercizio mi rendo conto di non avere idea di come approcciarmi a risolverlo. Qualcuno può aiutarmi e guidarmi al ragionamento che devo seguire, per capire come devo ragionare? Grazie.

"Su un foglio di carta illimitato sono segnati due punti A e B. Si disponga di tre righe prive di suddivisioni, una lunga cm 8, l'altra lunga cm 11, la terza illimitata; dire con quale precisione si può misurare la distanza dei punti A e B."

Grazie.

[Feliciano1]

Così ad occhio direi che il massimo errore che posso commettere è di 3.
Ma la soluzione che ho pensato io è puù pratica che matematico-teorica. Cioè potresti pensare di sovrapporre la riga di 11 a quella di 8 e quindi essere sicuro che il pezzo di riga che sporge è 3.
A questo punto è facile continuare.
Comunque forse qualche altro ne darà una soluzione più "seria".

[ViciousGoblin]

"elios":Leggendo questo esercizio mi rendo conto di non avere idea di come approcciarmi a risolverlo. Qualcuno può aiutarmi e guidarmi al ragionamento che devo seguire, per capire come devo ragionare? Grazie.

"Su un foglio di carta illimitato sono segnati due punti A e B. Si disponga di tre righe prive di suddivisioni, una lunga cm 8, l'altra lunga cm 11, la terza illimitata; dire con quale precisione si può misurare la distanza dei punti A e B."

Grazie.

Direi che il problema sottintende questo procedimento:

Faccio passare la linea illimitata per $A$ e $B$, dopo di che, partendo da $A$ posso riportare i due segmenti di $8$ e $11$ cm ognuno un certo numero di volte sia in avanti che all'indietro
(non so se riesco a rendere l'idea). Quindi le distanze che riesco a misurare sono del tipo $8n+11m$ con $n,m$ in $ZZ$ (interi relativi).

Quali numeri puo' generare l'espressione $8n+11m$ al variare di $n,m$ in $ZZ$ ?? Ti lascio un po' riflettere.

EDIT ho il dubbio che si possa fare di meglio usando il piano ma non capisco come.
EDIT 2 Credo non si possa fare meglio (dato che non abbiamo una penna)

[blackbishop13]

Io farei così:
unisco A e B con la riga illimitata.
Poi pongo sulla retta il segmento da 8 cm con un estremo in A, e valuto la distanza da A a B:
può essere inferiore di 8 cm e allora diremo AB<8
oppure uguale a 8 cm
o maggiore di 8 cm e allora proverò con il segmento da 11 cm

Poi penso si possano usare più volte i segmenti, del tipo tracciare un arco di circonferenza con centro in A e raggio 8 o 11 che interseca la retta illimitata in C, poi con centro in C raggio 8 o 11, e così via fino a poter approssimare la posizione di B.

E alla posizione di B ci dovremmo arrivare sempre, con un margine di errore.

Poi calcolare il margine di errore... Se AB misura un multiplo di 8 o un multiplo di 11, si trova l'esatta distanza in cm
o anche se AB è ad esempio 19, oppure 68 perchè 19=11+8 e 68=11*4 + 8*3

se AB è maggiore di 11 e minore di 16, c'è margine di errore e possiamo individuarlo

Poi c'è un'altra osservazione, se AB<8 si puo provare a tracciare una circonferenza in B di raggio 11, e a seconda che siano una interna e l'altra esterna, o tangenti, o secanti, si può misurare meglio la posizione di B

Non saprei dire di più per adesso

[blackbishop13]

Chiedo scusa a ViciousGoblin e Feliciano che hanno risposto prima di me e con procedimenti simili, oanche un po piu precisi

Ma lascio il mio ragionamento, cosi chi vuole intervenire ha piu punti di vista...

[Feliciano1]

per black bishop: come giustamente dice vicious non abbiamo una penna quindi gran parte del tuo ragionamento purtroppo non possiamo sfruttarlo.

Comunque quello che ho scritto io lo si può vedere come un caso particoalre della soluzione più generale proposta da Vicious, basta prendere $m=-n$.

[Feliciano1]

Comunque io azzarderei ad insistere che la precisione è di $+-3$
Cioè VIcious ci ha fatto vedere quali valori possono essere misurati esattamente senza nessun errore, ovvero tutti i valori del tipo $8n+11m$
Però chiediamoci come un qualsiasi numero reale positivo si discosta da un numero razionale del tipo $8n+11m$
Ragioniamo per gradi, diciamo r la distanza da misurare
per n,m nulli tale differenza è proprio pari a r
per n=1,m=0 tale differenza diventa r-8
per n=0,m=1 tale differenza risulta r-11
per n=1,m=1 tale differenza diventa r-19
per n=-m la differenza è massimo r-3
dubito si possa fare di meglio.

quindi io a questo punto concluderei che l'errore massimo che posso commettere è 3

[ViciousGoblin]

Io volevo lasciare a elios la possibilita' di pensarci. Comunque per gli impazienti

Si puo' arrivare a una precisione di un centimetro. Infatti $3*11-4*8=33-32=1$. Piu' complicato e' vedere che non si puo' fare di meglio (esercizio - non ho voglia di farlo )
Chi voglia puo' provare a dimostrare che, se $K,H$ sono interi, allora ${nK+mH:n,m\in ZZ}={n\cdot MCD(H,K): n\in ZZ}$
dove $MCD$ significa massimo comun divisore.

[Smt_1033]

Non ho letto la soluzione di Vicious, comunque direi che se la riga è illimitata solo da una parte (cioè abbiamo un estremo tra le mani), questa può essere usata per segnare la precisione raggiunta. Nel senso, diciamo che devo misurare un segmento lungo 5 cm (caso semplice), metto il righello da 8, gli affianco quello illimitato, lo tolgo e metto quello da 3 arrivando ai 5. In generale affianco quelli da 8 e da 3 partendo da A fino a superare B, poi uso quella infinita come "segno" e torno indietro fino alla misura esatta o fino a finire prima di B, quindi ripeto il procedimento fino a che non noto che l'ultima misura è meno precisa di quella precedente. Contando che posso ripetere quante volte voglio questo procedimento, posso scrivere la misura di AB come $3h+8k, con k in ZZ$, ottenendo $h$ e $k$ dalla volte che uso i righelli "in avanti" e "indietro", quindi posso misurare con precisione assoluta lunghezze intere, mentre per le altre l'errore è $<1$.

Ora vedo che ha scritto Vicious.

[Smt_1033]

Senza fare considerazioni su quanto scritto da Vicious, ora che ci penso si può fare lo stesso ragionamento senza presupporre che della riga illimitata abbiamo un capo. Basta sovrapporre i righelli e poi se il bordo è dritto (e di solito un righello è rettangolare) girarne uno e far scendere l'altro fino alla riga facendolo scivolare sul bordo.

[blackbishop13]

Allora credo che il problema si riconduca "semplicemente" a vedere che tipo di numeri può generare $8n + 11m$ con $n,m in ZZ$
e in particolare verifichiamo che esistono valori di n,m per cui $8n + 11m=1$

Infatti per il Teorema di Bèzout: Se $a,b$ sono interi e $MCD(a,b=c$ , allora esistono $h, k in ZZ$ tali che $ha + kb = c$

Nel nostro caso $a=8$ $b=11$ $c=1$ e quindi è verificato

Una dimostrazione del teorema di Bezout può essere ottenuta consultando questa pagina, con anche un po di teoria e esercizi sulle equazioni diofantee
http://www.dm.unipi.it/~abbondandolo/di ... eqdiof.pdf

@ViciousGoblin puoi fornire un collegamento ad una dimostrazione di quel che hai scritto nel testo nascosto? così che l'esercizio sia completo

[ViciousGoblin]

Mi pare che il link fornito dall'alfiere nero ( ) sia sostanzialmente quello che serve. Comunque faccio la dimostrazione come la sapevo io
(non ho letto il contenuto del link).

Vogliamo dimostrare che i numeri del tipo $nH+mK$, $n,m\in ZZ$ sono tutti e soli i multipli di $MCD(H,K)$.

1) sia $p=nH+mK$; dato che $H=h MCD(H,K)$ e $K=kMCD(H,K)$ si ha $p=(nh+mk)MCD(H,K)$; dunque $p$ e' un multiplo di $MCD(H,K)$.

2) Usero' il fatto che ogni sottoinsieme non vuoto dei numeri naturali ha minimo.

Poniamo $p_0:="min"{nH+mK:n,m\in ZZ, nH+mH>0}$ posso scrivere $p_0=n_0H+m_0K$ ($p_0$ e' e' strettamente positivo ed e' il piu' piccolo intero positivo generabile nel modo detto).

Prendiamo un qualunque $p=nH+mK$ e supponiamo $p>0$ (se no prendo l'opposto e faccio lo stesso ragionamento, ricambiando il segno alla fine).
Dividendo $p$ per $p_0$ ottengo $p=qp_0+r$ con $q\geq0$ e $0\leq r inoltre $r$ e' maggiore o eguale a zero e strettamente minore di $p_0$. Per la definizione di $p_0$ non puo' essere $r>0$ e quindi $r=0$. In definitiva $p$ e' multiplo di $p_0$.
In formule

(*) ${nH+mK:n,m\in ZZ}={kp_0:k\in ZZ}$

3) In particolare $H=1\cdot H=hp_0$ per un opportuno $h$: dunque $p_0$ e' un divisore di $H$ - analogamente $K=1\cdot K=kp_0$ per un opportuno $k$: dunque $p_0$ e' un divisore di $K$. Quindi $p_0$ e' un divisore comune di $H$ e $K$. Insieme alla 1) questo dice che $p_0=MCD(H,K)$ (quest'ultimo passaggio andrebbe dettagliato un po' di piu', ma e' solo questione di pazienza).

Questo mi pare dica tutto

[elios2]

"Feliciano":Comunque io azzarderei ad insistere che la precisione è di $+-3$
Cioè VIcious ci ha fatto vedere quali valori possono essere misurati esattamente senza nessun errore, ovvero tutti i valori del tipo $8n+11m$
Però chiediamoci come un qualsiasi numero reale positivo si discosta da un numero razionale del tipo $8n+11m$
Ragioniamo per gradi, diciamo r la distanza da misurare
per n,m nulli tale differenza è proprio pari a r
per n=1,m=0 tale differenza diventa r-8
per n=0,m=1 tale differenza risulta r-11
per n=1,m=1 tale differenza diventa r-19
per n=-m la differenza è massimo r-3
dubito si possa fare di meglio.

quindi io a questo punto concluderei che l'errore massimo che posso commettere è 3

Sinceramente non ho ben capito il tuo ragionamento.. Stai calcolando la differenza fra AB e $8n+11m$?

[elios2]

"ViciousGoblin":
Quali numeri puo' generare l'espressione $8n+11m$ al variare di $n,m$ in $ZZ$ ?? Ti lascio un po' riflettere.

Direi che può generare una sequenza di numeri ottenibili sommando 8 o 3 (8,11,19,27,30,38..)..

[ViciousGoblin]

"elios":[quote="ViciousGoblin"]
Quali numeri puo' generare l'espressione $8n+11m$ al variare di $n,m$ in $ZZ$ ?? Ti lascio un po' riflettere.

Direi che può generare una sequenza di numeri ottenibili sommando 8 o 3 (8,11,19,27,30,38..)..[/quote]
Ma puoi anche sottrarre, usando i righelli all'indietro. ($ZZ$ indica gli interi relativi).

[elios2]

"Smt_1033":metto il righello da 8, gli affianco quello illimitato, lo tolgo e metto quello da 3 arrivando ai 5. In generale affianco quelli da 8 e da 3 partendo da A fino a superare B, poi uso quella infinita come "segno" e torno indietro fino alla misura esatta o fino a finire prima di B, quindi ripeto il procedimento fino a che non noto che l'ultima misura è meno precisa di quella precedente. Contando che posso ripetere quante volte voglio questo procedimento, posso scrivere la misura di AB come $3h+8k, con k in ZZ$, ottenendo $h$ e $k$ dalla volte che uso i righelli "in avanti" e "indietro", quindi posso misurare con precisione assoluta lunghezze intere, mentre per le altre l'errore è $<1$.

Perché parli come se ci fosse un righello da 3 cm? Mi è sfuggito qualcosa..

[elios2]

"ViciousGoblin":[quote="elios"][quote="ViciousGoblin"]
Quali numeri puo' generare l'espressione $8n+11m$ al variare di $n,m$ in $ZZ$ ?? Ti lascio un po' riflettere.

Direi che può generare una sequenza di numeri ottenibili sommando 8 o 3 (8,11,19,27,30,38..)..[/quote]
Ma puoi anche sottrarre, usando i righelli all'indietro. ($ZZ$ indica gli interi relativi).[/quote]

La precisione che hai ricavato è chiaramente la massima precisione dopo il caso in cui AB misuri esattamente un numero della forma $8*n+11*m$, giusto?

[elios2]

"ViciousGoblin":
Vogliamo dimostrare che i numeri del tipo $nH+mK$, $n,m\in ZZ$ sono tutti e soli i multipli di $MCD(H,K)$.

1) sia $p=nH+mK$; dato che $H=h MCD(H,K)$ e $K=kMCD(H,K)$ si ha $p=(nh+mk)MCD(H,K)$; dunque $p$ e' un multiplo di $MCD(H,K)$.

2) Usero' il fatto che ogni sottoinsieme non vuoto dei numeri naturali ha minimo.

Poniamo $p_0:="min"{nH+mK:n,m\in ZZ, nH+mH>0}$ posso scrivere $p_0=n_0H+m_0K$ ($p_0$ e' e' strettamente positivo ed e' il piu' piccolo intero positivo generabile nel modo detto).

Prendiamo un qualunque $p=nH+mK$ e supponiamo $p>0$ (se no prendo l'opposto e faccio lo stesso ragionamento, ricambiando il segno alla fine).
Dividendo $p$ per $p_0$ ottengo $p=qp_0+r$ con $q\geq0$ e $0\leq r inoltre $r$ e' maggiore o eguale a zero e strettamente minore di $p_0$. Per la definizione di $p_0$ non puo' essere $r>0$ e quindi $r=0$. In definitiva $p$ e' multiplo di $p_0$.
In formule

(*) ${nH+mK:n,m\in ZZ}={kp_0:k\in ZZ}$

3) In particolare $H=1\cdot H=hp_0$ per un opportuno $h$: dunque $p_0$ e' un divisore di $H$ - analogamente $K=1\cdot K=kp_0$ per un opportuno $k$: dunque $p_0$ e' un divisore di $K$. Quindi $p_0$ e' un divisore comune di $H$ e $K$. Insieme alla 1) questo dice che $p_0=MCD(H,K)$ (quest'ultimo passaggio andrebbe dettagliato un po' di piu', ma e' solo questione di pazienza).

Questo mi pare dica tutto

Scusa ma mi sfugge a cosa serve questa dimostrazione.. Nel nostro caso dovrebbe essere $H=8$ e $K=11$, il cui $MCD$ è 1, e quindi ci serve a dimostrare che i numeri $8*n+11*m$ sono multipli di 1???? Scusami, ci sono molte cose che mi stanno sfuggendo..

[ViciousGoblin]

@elios

E' un problema linguistico.

Io dico che "i numeri del tipo $nH+mH$ sono i multipli di uno"

non "i numeri del tipo $nH+mH$ sono multipli di uno"

Cogli la differenza ?

[ViciousGoblin]

Prima di farti ammattire

Scrivendo ${n8+m11}={k\cdot MCD(8,11)}={k}$
dico due cose
1) che tutti inumeri dell insieme di sinistra sono multipli di uno (un po' banalotto in effetti)
2) che tutti gli elementi dell'insieme di destra sono elementi dell'insieme di sinistra, cioe' che facendo variare $n$ e $m$ raggiungi TUTTI gli interi.

per la 1) bastava la 1) della dimostrazione nel post precedente -

[elios2]

"ViciousGoblin":Prima di farti ammattire

Scrivendo ${n8+m11}={k\cdot MCD(8,11)}={k}$
dico due cose
1) che tutti inumeri dell insieme di sinistra sono multipli di uno (un po' banalotto in effetti)
2) che tutti gli elementi dell'insieme di destra sono elementi dell'insieme di sinistra, cioe' che facendo variare $n$ e $m$ raggiungi TUTTI gli interi.

per la 1) bastava la 1) della dimostrazione nel post precedente -

Grazie del chiarimento, in effetti mi stavo ammattendo.. Cioé la dimostrazione che hai fatto dice che $8*n+11*m$ in realtà rappresenta tutti gli interi.. Quindi in effetti con questi due righelli io posso misurare qualunque distanza, che ovviamente sia intera, giusto?