Forma di un polinomio - SNS 1978 (dubbio)
"Dire quale forma deve avere un polinomio $P(x)$ affinché per ogni numero reale $x$ si abbia $1-x^4<=P(x)<=1+x^4$"
Si ha che per ogni $x$ reale, $1-x^4<=1+x^4$. Cosa si intende per "forma del polinomio"?
Ad esempio i polinomi $P(x)=1-x^2$, oppure $P(x)=1+x^2$ rispettano la condizione, ma ovviamente i polinomi che la rispettano sono infiniti.. Cosa mi chiede chiedendomi la forma?
Grazie dell'aiuto.
Si ha che per ogni $x$ reale, $1-x^4<=1+x^4$. Cosa si intende per "forma del polinomio"?
Ad esempio i polinomi $P(x)=1-x^2$, oppure $P(x)=1+x^2$ rispettano la condizione, ma ovviamente i polinomi che la rispettano sono infiniti.. Cosa mi chiede chiedendomi la forma?
Grazie dell'aiuto.
Risposte
I polinomi che hai scritto non soddisfano le condizioni. Considera infatti che $1-x^4<= 1-x^2<=> x\in A={x\inRR : |x|>=1}uuu {x=0}$ mentre nel complementare di $A$ ha che $1-x^2<1-x^4$. Anche l'altro polinomio non soddisfa le condizioni.
Per quanto riguarda la domanda, dovresti cercare di determinare le condizioni sui coefficienti e sul grado del polinomio $P(x)$ di modo che soddisfi la catena di disuguaglianze.
Per quanto riguarda la domanda, dovresti cercare di determinare le condizioni sui coefficienti e sul grado del polinomio $P(x)$ di modo che soddisfi la catena di disuguaglianze.
Mini-aggiunta a quanto dice Mathematico: io inizierei a mettere qualche paletto sul grado di $P$. Poi al lavoro sui coefficienti.
E qualche caso particolare aggiungerei, tipo $x = 0$...
Allora, partendo con il grado del polinomio: mi verrebbe da dire che il grado deve essere minore di 4, anche se non riesco a motivarlo per bene.. Mi viene da pensare che se il grado fosse maggiore la disequazione non potrebbe valere per tutti gli x..
Per quanto riguarda il caso $x=0$, credo che $P(x)=1$ soddisfi la disequazione..
Per quanto riguarda il caso $x=0$, credo che $P(x)=1$ soddisfi la disequazione..
Perchè il grado deve essere minore di 4? Attento, nota che sia $P(x)=1- x^4$ che $P(x)= 1+x^4$ sono dei polinomi "buoni" per le disuguaglianze. 
Posso chiederti il ragionamento che fai per determinare il grado?
Posso chiederti il ragionamento che fai per determinare il grado?
Effettivamente non ho seguito un vero e proprio ragionamento: ho solo pensato che un polinomio della forma $ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$ per quanto io possa lavorare sui coefficienti non riuscirei mai a renderlo soddisfacente di quella disuguaglianza per tutti gli $x$, sia negativi sia positivi, già soltanto il segno darebbe non pochi problemi. Per questo avevo pensato ad un polinomio di grado pari in modo da non avere il segno come problema...
Mi mette davvero in crisi il ragionamento sul grado, sicuramente ho detto delle assurdità..
Mi mette davvero in crisi il ragionamento sul grado, sicuramente ho detto delle assurdità..
Penso che sarebbe utile ragionare come segue:
$1-x^4<= P(x)<= 1+x^4 => -x^4<= P(x)-1<= x^4=> -1<= (P(x)-1)/x^4<= 1$, parti da questo e vedi dove puoi arrivare
$1-x^4<= P(x)<= 1+x^4 => -x^4<= P(x)-1<= x^4=> -1<= (P(x)-1)/x^4<= 1$, parti da questo e vedi dove puoi arrivare
Allora, se $P(x)$ ha grado $n$, vuol dire che $(P(x)-1)/x^4$ ha grado $n-4$. E questo polinomio risultante che ha grado $n-4$ deve essere compreso fra -1 e 1 per ogni $x$.
Sì ok, ora passiamo al limite per $x->\infty$. Cosa succede se $"deg"(P(x)-1)>4$?
Per $x->\infty$, se il grado di $(P(x)-1)$ è maggiore di 4, allora $(P(x)-1)/x^4$ va ad infinito.
Se il grado fosse uguale a 4, il limite sarebbe pari al rapporto dei coefficienti dei termini di maggior grado (e quindi potrei fare in modo che tale rapporto sia quello che mi è utile)
Se il grado fosse minore di 4, allora il limite sarebbe 0.
E' questo il ragionamento che volevi portarmi a fare? Oppure ancora non ho capito cosa mi stai suggerendo?
Se il grado fosse uguale a 4, il limite sarebbe pari al rapporto dei coefficienti dei termini di maggior grado (e quindi potrei fare in modo che tale rapporto sia quello che mi è utile)
Se il grado fosse minore di 4, allora il limite sarebbe 0.
E' questo il ragionamento che volevi portarmi a fare? Oppure ancora non ho capito cosa mi stai suggerendo?
Esattamente, con questo limite abbiamo compreso che il grado del polinomio $P(x)$ deve essere minore o uguale a 4.
Ti faccio notare che se $"deg" (P(x)-1)>4$ allora non varrebbe più $-1<=(P(x)-1)/x^4<=1$.
Ora supponiamo che $"deg"(P(x)-1)<4$, facendo il limite di $(P(x)-1)/x^4$ per $x->0$ che cosa succede?
Mi auguro di non confonderti, faccio in questo modo così hai la possibilità di ragionarci su
Ti faccio notare che se $"deg" (P(x)-1)>4$ allora non varrebbe più $-1<=(P(x)-1)/x^4<=1$.
Ora supponiamo che $"deg"(P(x)-1)<4$, facendo il limite di $(P(x)-1)/x^4$ per $x->0$ che cosa succede?
Mi auguro di non confonderti, faccio in questo modo così hai la possibilità di ragionarci su
Grazie mille.
Beh a livello generale credo che il limite per x che tende a zero di quel rapporto, essendoci $x^4$ al denominatore, sia infinito, che è pure non accettabile.
Quindi rimane che $P(x)$ abbia grado =4.
Beh a livello generale credo che il limite per x che tende a zero di quel rapporto, essendoci $x^4$ al denominatore, sia infinito, che è pure non accettabile.
Quindi rimane che $P(x)$ abbia grado =4.
Ok, abbiamo determinato il grado effettivo del polinomio $P(x)-1$ e quindi di $P(x)$.
Sia $P(x)= a x^4+b x^3+ c x^2+ dx +e$. Per $x=0$ deve valere che $P(x)=1$ per cui ti è possibile determinare già $e=1$.
Di conseguenza $P(x)-1 = a x^4+b x^3+ c x^2+ dx$.
Prova ora a rifare i limiti per $x->0$ e per $x->\infty$ di $(P(x)-1)/x^4$ tenendo sempre a mente che $-1<= (P(x)-1)/x^4<=1$. Salteranno fuori le condizioni che ti servono.
[edit]:Mi sono mangiato un paio di termini del polinomio, ora è corretto, scusami.
Sia $P(x)= a x^4+b x^3+ c x^2+ dx +e$. Per $x=0$ deve valere che $P(x)=1$ per cui ti è possibile determinare già $e=1$.
Di conseguenza $P(x)-1 = a x^4+b x^3+ c x^2+ dx$.
Prova ora a rifare i limiti per $x->0$ e per $x->\infty$ di $(P(x)-1)/x^4$ tenendo sempre a mente che $-1<= (P(x)-1)/x^4<=1$. Salteranno fuori le condizioni che ti servono.
[edit]:Mi sono mangiato un paio di termini del polinomio, ora è corretto, scusami.
"elios":
Allora, se $P(x)$ ha grado $n$, vuol dire che $(P(x)-1)/x^4$ ha grado $n-4$. E questo polinomio risultante che ha grado $n-4$ deve essere compreso fra -1 e 1 per ogni $x$.
Piccola precisazione.
L'espressione
$(P(x)-1)/x^4$
non prende il nome di polinomio, ma di "funzione razionale".
"Mathematico":
Per $x=0$ deve valere che $P(x)=1$
Perché? Per far sì che $P(x)-1$ sia zero, che è compreso fra -1 e 1??
"Steven":
[quote="elios"]Allora, se $P(x)$ ha grado $n$, vuol dire che $(P(x)-1)/x^4$ ha grado $n-4$. E questo polinomio risultante che ha grado $n-4$ deve essere compreso fra -1 e 1 per ogni $x$.
Piccola precisazione.
L'espressione
$(P(x)-1)/x^4$
non prende il nome di polinomio, ma di "funzione razionale".
[/quote]Pardon, prof
Dal limite per x che tende a zero mi verrebbe da dire che $d$ deve valere zero, perché
$(P(x)-1)/x^4=(ax^4+bx^3+cx^2+dx)/x^4=(ax^3+bx^2+cx+d)/x^4$, che per $x$ che tende a zero, può non fare infinito solo se $d=0$, anche se ho qualche dubbio a proposito perché abbiamo precedentemente definito $P(x)=1$ per $x=0$..
Il limite per x che tende a infinito viene uguale a $a$. Quindi poniamo $a$ uguale a 1?
$(P(x)-1)/x^4=(ax^4+bx^3+cx^2+dx)/x^4=(ax^3+bx^2+cx+d)/x^4$, che per $x$ che tende a zero, può non fare infinito solo se $d=0$, anche se ho qualche dubbio a proposito perché abbiamo precedentemente definito $P(x)=1$ per $x=0$..
Il limite per x che tende a infinito viene uguale a $a$. Quindi poniamo $a$ uguale a 1?
Per vedere che $p(0)=1$ basta considerare la traccia iniziale
$1-x^4<=p(x)<=1+x^4$ e calcolare tutti e tre i "membri" in $x=0$.
$1<=p(0)<=1$
Cosa significa questa cosa, per te?
Giusto (forse a denominatore volevi mettere 3 invece che 4), $d=0$, ma non basta.
Infatti avresti
$(ax^3+bx^2+cx)/x^3$ ovvero
$(ax^2+bx+c)/x^2$ e ripeti il ragionamento.
In generale, tieni conto che se hai il rapporto tra due polinomi e passi al limite
$lim_(xto0)(p(x))/(q(x))$ puoi giudicare se uno dei due prevale sull'altro guardando i termini con esponente minore, quelli che sono più forti quando si tende a zero.
Se un polinomio è del tipo $...+2x^5+5x^4$ e un altro è $...+2x^3+x^2$ il primo va a zero più velocemente del secondo.
Devi ragionare al contrario degli infiniti.
Perché $a$ deve essere proprio $1$? $-1$ non andrebbe bene ad esempio? O zero?
$1-x^4<=p(x)<=1+x^4$ e calcolare tutti e tre i "membri" in $x=0$.
$1<=p(0)<=1$
Cosa significa questa cosa, per te?
"elios":
Dal limite per x che tende a zero mi verrebbe da dire che $d$ deve valere zero, perché
$(P(x)-1)/x^4=(ax^4+bx^3+cx^2+dx)/x^4=(ax^3+bx^2+cx+d)/x^4$, che per $x$ che tende a zero, può non fare infinito solo se $d=0$
Giusto (forse a denominatore volevi mettere 3 invece che 4), $d=0$, ma non basta.
Infatti avresti
$(ax^3+bx^2+cx)/x^3$ ovvero
$(ax^2+bx+c)/x^2$ e ripeti il ragionamento.
In generale, tieni conto che se hai il rapporto tra due polinomi e passi al limite
$lim_(xto0)(p(x))/(q(x))$ puoi giudicare se uno dei due prevale sull'altro guardando i termini con esponente minore, quelli che sono più forti quando si tende a zero.
Se un polinomio è del tipo $...+2x^5+5x^4$ e un altro è $...+2x^3+x^2$ il primo va a zero più velocemente del secondo.
Devi ragionare al contrario degli infiniti.
Perché $a$ deve essere proprio $1$? $-1$ non andrebbe bene ad esempio? O zero?
Sì Steven, era un $x^3$ al denominatore.. Sì se il mio ragionamento è giusto si può ripetere fino ad eliminare tutti i termini di grado minoreal quarto..
Per quanto riguarda il coefficiente di $x^4$, mi verrebbe da dire che siccome $-1<=(ax^4)/x^4<=1$, allora $-1<=a<=1$..
Per quanto riguarda il coefficiente di $x^4$, mi verrebbe da dire che siccome $-1<=(ax^4)/x^4<=1$, allora $-1<=a<=1$..
Esatto.
Direi che l'esercizio è concluso, tutti i polinomi $p(x)=ax^4+1$ con $a\in[-1,1]$ soddisfano la richiesta.
Se non ci sono stati errori prima e non ci siamo persi qualche polinomio per strada, fine.
Direi che l'esercizio è concluso, tutti i polinomi $p(x)=ax^4+1$ con $a\in[-1,1]$ soddisfano la richiesta.
Se non ci sono stati errori prima e non ci siamo persi qualche polinomio per strada, fine.
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