Cerchio equidistante dai vertici - SNS 1981

[elios2]

"Dato nel piano un quadrilatero ABCD, tracciare un cerchio equidistante dai quattro vertici. Quanti di questi cerchi si possono tracciare?
(Si ricorda che la distanza di un punto P da un cerchio di centro O e raggio r è OP-r se P è esterno al cerchio, r-OP se P è interno al cerchio)"

Affinché i cerchi in questione siano equidistanti dai quattro vertici, deve essere che il centro di tali cerchi sia equidistante dai quattro vertici. Cioè preso il centro della circonferenza circoscritta al quadrilatero (se tale quadrilatero la ammette, per la proprietà nota), allora i cerchi ricercati sono i cerchi con tale centro e raggio a piacere. Infatti in tal caso OP, per ogni vertice, è costante; cioè anche r-OP o OP-r sarà costante. Quindi i cerchi che si possono tracciare sono infiniti.

E' giusto il mio ragionamento?
Grazie mille dell'aiuto.

[*pizzaf40]

Credo che il ragionamento sia giusto nel solo caso in cui questo punto (centro) equidistante esita...quindi dividerei in 2 casi...il caso di soluzioni infinite ed il caso di nessuna soluzione. Per esempio, in un rombo con angoli diversi da 90° (che altrimenti sarebbe un quadrato) non riesci a trovare un punto equidistante da tutti 4 i vertici...

[elios2]

Sì sì certo.. Ci sono infinite soluzioni nei quadrilateri che ammettono circonferenze circoscritte, e nessuna nei quadrilateri che non le ammettono.

[giammaria2]

Non saprei indicare una soluzione, ma non concordo con la vostra nella sua seconda parte: anche per un quadrilatero non inscrivibile possono esserci soluzioni (resta da precisare quante e quali). Mi spiego: innanzitutto cerco il luogo dei centri P delle circonferenze di raggio r equidistanti da due punti A e B. Deve essere $PA-r=\pm (PB-r)$ e se c'è il $+$ si ha PA=PB e quindi l'asse del segmento AB e ne consegue la vostra soluzione. Se però c''è il $-$ si ha PA+PB=2r cioè l'ellisse di fuochi A e B e asse principale 2r: il luogo cercato è l'unione dell'asse del segmento con l'ellisse.
Passiamo ora al quadrilatero: è possibile che in uno stesso punto passino gli assi di tre lati e l'ellisse relativa al quarto lato (anzi forse che con una scelta opportuna di r questo succede sempre), o un asse e tre ellissi con lo stesso 2r, o altro, quindi possono esserci soluzioni.

[*pizzaf40]

Non sono d'accordo perchè il vincolo di $PA+PB=2r$ identifica un'ellisse, ma solo un punto di quest'ellisse soddisfa il vincolo aggiuntivo del cerchio ($PA=PB$) e quel punto è quello che si trova proprio sul'asse del segmento $AB$, quindi già considerato nel caso $PA+PB=0$. E questo solo per i 2 punti, quindi per i 4 punti di un quadrilatero la situazione è ancora più vincolante...

[giammaria2]

E dove hai trovato che deve essere PA=PB? Disegna una circonferenza di centro P e raggio r; preso poi un segmento a Quanto al resto, pensandoci ho trovato la soluzione ma non la riporto qui: in parte per non privarvi del piacere di ritrovarla voi e in parte perchè adesso mi viene qualche dubbio (ma forse non ce n'è motivo). Aggiungo solo qualche piccolo aiuto:
1) il fatto che venga un'ellisse è privo di importanza; potrebbe essere qualsiasi altra curva;
2) se la mia soluzione è giusta, per un quadrilatero non inscrivibile ci sono 7 circonferenze risolutive: il numero viene da 4+3=7;
3) questo problema è già stato posto in un altro topic comparso, se la memoria non mi inganna, circa un mese fa; allora l'avevo letto distrattamente e quindi non ne avevo capito bene la soluzione. Potete cercarlo.

[G.D.5]

@giammaria
Ti riferisci a questo?

[*pizzaf40]

"giammaria":E dove hai trovato che deve essere PA=PB? Disegna una circonferenza di centro P e raggio r; preso poi un segmento a Quanto al resto, pensandoci ho trovato la soluzione ma non la riporto qui: in parte per non privarvi del piacere di ritrovarla voi e in parte perchè adesso mi viene qualche dubbio (ma forse non ce n'è motivo). Aggiungo solo qualche piccolo aiuto:
1) il fatto che venga un'ellisse è privo di importanza; potrebbe essere qualsiasi altra curva;
2) se la mia soluzione è giusta, per un quadrilatero non inscrivibile ci sono 7 circonferenze risolutive: il numero viene da 4+3=7;
3) questo problema è già stato posto in un altro topic comparso, se la memoria non mi inganna, circa un mese fa; allora l'avevo letto distrattamente e quindi non ne avevo capito bene la soluzione. Potete cercarlo.

Scusa è vero, hai ragione!!
Mi sono un attimo distratto come spesso mi accade
Vero vero, concordo!

[giammaria2]

@Wizard
Sì, proprio a quello; vedendolo mi accorgo che è un po' diverso, ma credo che le due soluzioni si assomiglino molto.

[G.D.5]

Concordo e credo che il problema oggetto di questo topic possa essere visto come una generalizzazione di quello oggetto del topic linkato, anche se quello presente nel link è un caso molto molto particolare.

[*pizzaf40]

Scusate tutti ancora per l'errore di prima...soprattutto nei confronti di elios che è il principale interessato.

[elios2]

Ma quali scuse, per favore, io non faccio altro che ringraziarvi tutti. Ogni intervento mi spalanca una miriade di possibili ragionamenti, davvero.

Allora, partendo da quell'esercizio che è stato opportunamento linkato, cerco di ripercorrerne i punti, sempre nel caso in cui il quadrilatero ABCD non sia inscrittibile in una circonferenza:
a) La circonferenza non può passare per uno dei quattro punti perché altrimenti il quadrilatero sarebbe ciclico.
b) La circonferenza non può lasciare i quattro punti tutti nella medesima regione di spazio (dentro il cerchio oppure esternamente ad esso) perché i punti dovrebbero essere equidistanti dal centro, che è assurdo.
c) La circonferenza può lasciare tre punti da una parte e uno dall'altra: in particolare ci sono 4 circonferenze che hanno come centro il circocentro dei quattro triangoli che si possono considerare (ABC, ABD, ACD, BCD) e come raggio la media tra il raggio del centro circoscritto e quello del cerchio concentrico al precedente passante per il quarto punto. (almeno credo)
d) La circonferenza può lasciare due punti da una parte e due dall'altra, ma ho avuto qualche difficoltà in questo caso.. Per quello che ha detto giammaria qui le soluzioni dovrebbero essere 3...

[giammaria2]

Bravissima per i primi tre punti; pensa ancora un po' al quarto. Rettifico in parte la mia risposta: per il punto d) ci sono in generale 3 soluzioni, che però in qualche caso particolare si riducono a 2 o 1.

[elios2]

Allora,
d) la circonferenza deve avere per i due punti interni che r-OA=r-OB, cioè OA=OB cioè il centro della circonferenza è sull'asse di AB. Per i due punti esterni si ha OC-r=OD-r, cioè il centro della circonferenza deve essere anche sull'asse di CD. Quindi, se l'intersezione dei due assi rispetta le condizioni: OA+OC=2r la circonferenza ha le caratteristiche richieste.
E lo stesso vale per le coppie BC, e AD. Quindi io ottengo 2 possibili circonferenze.. Quale è la terza?

[giammaria2]

Le coppie AC, BD cioè le diagonali: ad esempio in un rombo possono essere interni gli estremi della diagonale minore ed esterni gli altri. Ritengo che tu abbia scritto "se l'intersezione dei due assi rispetta le condizioni OA+OC=2r" intendendo in realtà scrivere "se O è l'intersezione dei due assi e il raggio è dato dalla formula OA+OC=2r "
Perchè ho detto che in qualche caso le soluzioni di questo punto possono essere meno di 3?

[elios2]

Sì sì sono stata imprecisa.. Chiaramente le circonferenze sono 4+3 sono in un caso molto specifico.. Generalmente parlando saranno meno..
Grazie mille!

[giammaria2]

"elios":le circonferenze sono 4+3 sono in un caso molto specifico.. Generalmente parlando saranno meno..

Il contrario: sono 4+3 in generale e meno in casi specifici.

[elios2]

E' inverosimile quanto riesco ad esprimermi male..

[giammaria2]

Consolati: fra i miei ricordi più vivi c'è la volta in cui mi hanno rivolto questa frase. "Hai detto che ... Ma forse intendevi l'esatto contrario?". La risposta era sì.