Eguaglianza fattoriali - SNS 1985
"L'eguaglianza $p!+q!+r! =s!$ è soddisfatta per $p=q=r=2$ e $s=3$. Dire se esistono altri numeri interi positivi per cui tale eguaglianza è vera."
La mia risposta è che non ci sono altri numeri interi che soddisfano l'eguaglianza e ho cercato di dimostrarlo.
Ponendo che $p$ sia il minore dei 4 numeri posso scrivere ciascuno degli altri numeri in questo modo:
$q! =q*(q-1)...(p+1)*p*(p-1)...3*2*1=q*(q-1)...(p+1)*p!$
E l'uguaglianza diviene
$p!+q(q-1)...(p+1)*p!+r(r-1)...(p+1)*p! =s(s-1)...(p+1)*p!$
$s(s-1)...(p+1)=1+q(q-1)...(p+1)+r(r-1)...(p+1)$
$1=(p+1)[s(s-1)...-q(q-1)...-r(r-1)...]$
dove $(p+1)$ non è necessariamente $p+1$ ma rappresenta il massimo fattore comune fra $q$, $r$ e $s$ dopo che sono stati divisi per $p!$.
E' evidente che quella moltiplicazione non possa mai fare 1, se il massimo fattore comune è maggiore di 1, dato che la seconda parentesi non potrà mai essere un numero compreso fra 0 e 1.
Conseguentemente il massimo fattore comune fra $p$,$q$,$r$ e $s$ è $p$, cioè c'è solo un intero fra questi quattro (ed è $s$ poiché è il maggiore) che ha dei fattori oltre $p!$, cioè $p=q=r$.
L'eguaglianza si riduce a
$p!+p!+p! =s(s-1)...(p+1)p!$
$1+1+1=s(s-1)...(p+1)$
$s(s-1)...(p+1)=3$
Una serie di fattori può fare 3 solo se c'è un solo fattore, che è appunto 3, cioè $s=p+1=3$. Da cui $p=2$.
Spero che il mio discorso sia abbastanza chiaro. E' corretto?
Grazie dell'aiuto.
La mia risposta è che non ci sono altri numeri interi che soddisfano l'eguaglianza e ho cercato di dimostrarlo.
Ponendo che $p$ sia il minore dei 4 numeri posso scrivere ciascuno degli altri numeri in questo modo:
$q! =q*(q-1)...(p+1)*p*(p-1)...3*2*1=q*(q-1)...(p+1)*p!$
E l'uguaglianza diviene
$p!+q(q-1)...(p+1)*p!+r(r-1)...(p+1)*p! =s(s-1)...(p+1)*p!$
$s(s-1)...(p+1)=1+q(q-1)...(p+1)+r(r-1)...(p+1)$
$1=(p+1)[s(s-1)...-q(q-1)...-r(r-1)...]$
dove $(p+1)$ non è necessariamente $p+1$ ma rappresenta il massimo fattore comune fra $q$, $r$ e $s$ dopo che sono stati divisi per $p!$.
E' evidente che quella moltiplicazione non possa mai fare 1, se il massimo fattore comune è maggiore di 1, dato che la seconda parentesi non potrà mai essere un numero compreso fra 0 e 1.
Conseguentemente il massimo fattore comune fra $p$,$q$,$r$ e $s$ è $p$, cioè c'è solo un intero fra questi quattro (ed è $s$ poiché è il maggiore) che ha dei fattori oltre $p!$, cioè $p=q=r$.
L'eguaglianza si riduce a
$p!+p!+p! =s(s-1)...(p+1)p!$
$1+1+1=s(s-1)...(p+1)$
$s(s-1)...(p+1)=3$
Una serie di fattori può fare 3 solo se c'è un solo fattore, che è appunto 3, cioè $s=p+1=3$. Da cui $p=2$.
Spero che il mio discorso sia abbastanza chiaro. E' corretto?
Grazie dell'aiuto.
Risposte
Ciao!
Ok, hai colto l'idea, il problema si risolve così.
Qualche appunto:
Perché dici che è il massimo?
A priori (cioè prima delle considerazioni che seguono) anche [tex]$p+2$[/tex] potrebbe essere un fattore comune.
Forse volevi dire minimo?
Ad ogni modo ti scrivo come avrei concluso io.
Arrivato a
[tex]$1+q(q-1)\cdot...(p+1)+r(r-1)\cdot...(p+1)=s(s-1)\cdot...(p+1)$[/tex]
si ha che [tex]$p+1$[/tex] divide il secondo membro e due addendi del primo, da cui facilmente [tex]$1|(p+1)$[/tex] e questo sarebbe possibile solo se [tex]$p=0$[/tex], ma il testo parla di numeri positivi.
Quindi dobbiamo concludere che [tex]$p+1$[/tex] non divide nemmeno uno di quei due addendi, cioè dopo aver diviso ad esempio [tex]$q!$[/tex] per [tex]$p!$[/tex] non avanza nulla, cioè [tex]$p=q$[/tex].
A questo punto si avrebbe
$[tex]$2+r(r-1)\cdot...(p+1)=s(s-1)\cdot...(p+1)$[/tex] ma ragionando come prima (*) si ha appunto
[tex]$p=q=r$[/tex] e si conclude.
(*)
Sto tralasciando il caso [tex]$p=2$[/tex] perché stiamo cercando altre quaterne, diverse da quella nota.
Ok, hai colto l'idea, il problema si risolve così.
Qualche appunto:
dove $(p+1)$ non è necessariamente $p+1$ ma rappresenta il massimo fattore comune fra $q$, $r$ e $s$ dopo che sono stati divisi per $p!$.
Perché dici che è il massimo?
A priori (cioè prima delle considerazioni che seguono) anche [tex]$p+2$[/tex] potrebbe essere un fattore comune.
Forse volevi dire minimo?
Ad ogni modo ti scrivo come avrei concluso io.
Arrivato a
[tex]$1+q(q-1)\cdot...(p+1)+r(r-1)\cdot...(p+1)=s(s-1)\cdot...(p+1)$[/tex]
si ha che [tex]$p+1$[/tex] divide il secondo membro e due addendi del primo, da cui facilmente [tex]$1|(p+1)$[/tex] e questo sarebbe possibile solo se [tex]$p=0$[/tex], ma il testo parla di numeri positivi.
Quindi dobbiamo concludere che [tex]$p+1$[/tex] non divide nemmeno uno di quei due addendi, cioè dopo aver diviso ad esempio [tex]$q!$[/tex] per [tex]$p!$[/tex] non avanza nulla, cioè [tex]$p=q$[/tex].
A questo punto si avrebbe
$[tex]$2+r(r-1)\cdot...(p+1)=s(s-1)\cdot...(p+1)$[/tex] ma ragionando come prima (*) si ha appunto
[tex]$p=q=r$[/tex] e si conclude.
(*)
Sto tralasciando il caso [tex]$p=2$[/tex] perché stiamo cercando altre quaterne, diverse da quella nota.
Grazie Steve, ho capito. Diciamo che volevo dire all'incirca ciò che tu hai detto per bene! Ad esempio, intendevo il minore fattore comune.. Grazie ancora!
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