Calcolare la radice di due - SNS 1981
"Trovare quattro numeri interi positivi $a$, $b$, $c$, $d$, in modo che per ogni numero razionale positivo $x$ risulti
$|(ax+b)/(cx+d) - sqrt2|<1/(10)|x-sqrt2|$.
Utilizzando la formula trovata, calcolare $sqrt2$ con l'approssimazione di $10^(-3)$."
Allora, per la prima parte dell'esercizio non ci sono grossi problemi: penso che ci siano diversi modi per trovare quei quattro numeri, ad esempio io ho trovato
$|(10sqrt2x+18)/(9x+10sqrt2) - sqrt2|<1/(10) |x-sqrt2|$, oppure $|(sqrt2x+2)/(x+sqrt2) - sqrt2|<1/(10) |x-sqrt2|$...
Il problema è che per ottenere questi quattro numeri io ho proceduto imponendo che quella disuguaglianza iniziale fosse valida per QUALUNQUE $x$, e perciò, ovviamente, se provo a fare i conti ed esplicitare $sqrt2$ nella disuguaglianza, alla fine il termine in $x$ verrà semplificato, e otterrò, ad esempio nel primo risultato $sqrt2>1$. Essendo indipendente dalla $x$, non riesco ad ottenere l'approssimazione richiesta..
Come faccio?
Grazie dell'aiuto.
$|(ax+b)/(cx+d) - sqrt2|<1/(10)|x-sqrt2|$.
Utilizzando la formula trovata, calcolare $sqrt2$ con l'approssimazione di $10^(-3)$."
Allora, per la prima parte dell'esercizio non ci sono grossi problemi: penso che ci siano diversi modi per trovare quei quattro numeri, ad esempio io ho trovato
$|(10sqrt2x+18)/(9x+10sqrt2) - sqrt2|<1/(10) |x-sqrt2|$, oppure $|(sqrt2x+2)/(x+sqrt2) - sqrt2|<1/(10) |x-sqrt2|$...
Il problema è che per ottenere questi quattro numeri io ho proceduto imponendo che quella disuguaglianza iniziale fosse valida per QUALUNQUE $x$, e perciò, ovviamente, se provo a fare i conti ed esplicitare $sqrt2$ nella disuguaglianza, alla fine il termine in $x$ verrà semplificato, e otterrò, ad esempio nel primo risultato $sqrt2>1$. Essendo indipendente dalla $x$, non riesco ad ottenere l'approssimazione richiesta..
Come faccio?
Grazie dell'aiuto.
Risposte
non mi sono messa a fare i conti, ma immagino che l'indipendenza della disuguaglianza da $x$ ci autorizzi ad iterare il procedimento.
ad esempio, utilizzando la seconda espressione da te trovata:
$y=(sqrt2x+2)/(x+sqrt2), z=(sqrt2y+2)/(y+sqrt2), t=(sqrt2z+2)/(z+sqrt2), |t-sqrt2|<1/10|z-sqrt2|<1/100|y-sqrt2|<1/1000|x-sqrt2|$.
spero che il suggerimento sia utile. ciao.
ad esempio, utilizzando la seconda espressione da te trovata:
$y=(sqrt2x+2)/(x+sqrt2), z=(sqrt2y+2)/(y+sqrt2), t=(sqrt2z+2)/(z+sqrt2), |t-sqrt2|<1/10|z-sqrt2|<1/100|y-sqrt2|<1/1000|x-sqrt2|$.
spero che il suggerimento sia utile. ciao.
Ma i numeri da trovare non dovevano essere interi? I vostri non lo sono.
sembrerebbe di sì. in ogni caso io non li ho cercati, dato che elios ha detto di aver trovato diverse soluzioni..., mentre chiedeva aiuto per la seconda parte.
"adaBTTLS":
non mi sono messa a fare i conti, ma immagino che l'indipendenza della disuguaglianza da $x$ ci autorizzi ad iterare il procedimento.
ad esempio, utilizzando la seconda espressione da te trovata:
$y=(sqrt2x+2)/(x+sqrt2), z=(sqrt2y+2)/(y+sqrt2), t=(sqrt2z+2)/(z+sqrt2), |t-sqrt2|<1/10|z-sqrt2|<1/100|y-sqrt2|<1/1000|x-sqrt2|$.
spero che il suggerimento sia utile. ciao.
Ho provato ad utilizzare $|t-sqrt2|<1/(1000)|x-sqrt2|$, ma qualunque $z$ sostituisco il primo membro viene zero.. Non riesco proprio a capire la logica con cui dovrei risolvere questo esercizio..
"giammaria":
Ma i numeri da trovare non dovevano essere interi? I vostri non lo sono.
Sinceramente non mi ero focalizzata sul fatto che debbano essere interi. Forse è lì l'errore: i numeri che ho trovato io sono "troppo buoni", nel senso che eliminano la dipendenza dalla $x$, invece io devo cercare dei numeri interi che rendano vera la disuguaglianza ma senza riuscire ad eliminare la $x$.. Ci provo.
Credo di avercela fatta. Come avevo detto ho cercato dei valori interi di $a$ e $c$ che rendessero vera la disuguaglianza. Usando le frazioni ce ne sono infiniti e io ho scelto
$|(3x+4)/(2x+3) - sqrt2|<1/(10) |x - sqrt2|$
A questo punto per trovare radice di due, ho che
-$x>sqrt2$, allora $sqrt2>(-2x^2+27x+40)/(18x+27)$ e sostituendo dei valori maggiori di $sqrt2$ si ha, ad esempio per $x=2$, $sqrt2>1,365$, per $x=1,5$, $sqrt>1,404$.
-$x
Se volete posto i calcoli.
Grazie dell'aiuto.
$|(3x+4)/(2x+3) - sqrt2|<1/(10) |x - sqrt2|$
A questo punto per trovare radice di due, ho che
-$x>sqrt2$, allora $sqrt2>(-2x^2+27x+40)/(18x+27)$ e sostituendo dei valori maggiori di $sqrt2$ si ha, ad esempio per $x=2$, $sqrt2>1,365$, per $x=1,5$, $sqrt>1,404$.
-$x
Se volete posto i calcoli.
Grazie dell'aiuto.
prego.
se non è troppo complicato, posta pure.
almeno una traccia, saltando i passaggi più banali, mettila comunque, visto che il problema potrebbe interessare a molti utenti.
ciao.
se non è troppo complicato, posta pure.
almeno una traccia, saltando i passaggi più banali, mettila comunque, visto che il problema potrebbe interessare a molti utenti.
ciao.
Come promesso posto i calcoli, almeno i passaggi:
Cerco i valori per cui $(ax+b)/(cx+d)-sqrt2>0$, $x(a-sqrt2c)>sqrt2d-b$. Prendo $a>sqrt2c$ ed ho $x>(sqrt2d-b)/(a-sqrt2c)$. Per far coincidere lo scioglimento dei due moduli pongo $(sqrt2d-b)/(a-sqrt2c)=sqrt2$, da cui $a=d$, $b=2c$. A questo punto il sistema diventa
$x>=sqrt2$
$(ax+2c)/(cx+a)-sqrt2<1/10*x-sqrt2/(10)$
Risolvo questa disequazione e ottengo
$cx^2+x(9sqrt2c-9a)+9sqrt2a-20c>0$
che ha come soluzioni $x_1=sqrt2$ e $x_2=(9a-10sqrt2c)/c$. Poiché le soluzioni delle disequazioni sono esterne, affinché l'insieme soluzione di questa disequazione coincida con $x>=sqrt2$, si deve avere $(9a-10sqrt2c)/c
(Avendo fatto lo stesso sistema precedente ma con $x
$x>=sqrt2$, $(3x+4)/(x+3)-sqrt2<1/10(x-sqrt2)$, da cui $sqrt2>(-2x^2+27x+40)/(18x+27)$, e si calcola come ho scritto nei precedenti post, e così si fa per $x
Spero sia tutto chiaro.
Cerco i valori per cui $(ax+b)/(cx+d)-sqrt2>0$, $x(a-sqrt2c)>sqrt2d-b$. Prendo $a>sqrt2c$ ed ho $x>(sqrt2d-b)/(a-sqrt2c)$. Per far coincidere lo scioglimento dei due moduli pongo $(sqrt2d-b)/(a-sqrt2c)=sqrt2$, da cui $a=d$, $b=2c$. A questo punto il sistema diventa
$x>=sqrt2$
$(ax+2c)/(cx+a)-sqrt2<1/10*x-sqrt2/(10)$
Risolvo questa disequazione e ottengo
$cx^2+x(9sqrt2c-9a)+9sqrt2a-20c>0$
che ha come soluzioni $x_1=sqrt2$ e $x_2=(9a-10sqrt2c)/c$. Poiché le soluzioni delle disequazioni sono esterne, affinché l'insieme soluzione di questa disequazione coincida con $x>=sqrt2$, si deve avere $(9a-10sqrt2c)/c
(Avendo fatto lo stesso sistema precedente ma con $x
$x>=sqrt2$, $(3x+4)/(x+3)-sqrt2<1/10(x-sqrt2)$, da cui $sqrt2>(-2x^2+27x+40)/(18x+27)$, e si calcola come ho scritto nei precedenti post, e così si fa per $x
Spero sia tutto chiaro.
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