$|f(x,y)|\le |x-y|$ vicino $(0,0)$
Premetto che conosco già la soluzione del quesito, e voglio solo proporre a chi ha piacere la seguente questione.
Anche per vedere se qualcuno prende strade diverse dalla "ufficiale", che ho letto dopo una mezzoretta di vani tentativi (perché ero partito in una direzione che mi conduceva ad un vicolo cieco, e non ho avuto la pazienza di cambiare tattica)
Considera [tex]$g\in C^1([0,1])$[/tex] tale che [tex]$g(0)=0$[/tex]
Allora la funzione
[tex]$f(x,y)=xg(y)-yg(x)$[/tex] soddisfa la dis.
[tex]$|f(x,y)|\le |x-y|$[/tex] in un intorno adeguatamente piccolo di [tex]$(0,0)$[/tex]
Buon lavoro.
Anche per vedere se qualcuno prende strade diverse dalla "ufficiale", che ho letto dopo una mezzoretta di vani tentativi (perché ero partito in una direzione che mi conduceva ad un vicolo cieco, e non ho avuto la pazienza di cambiare tattica)
Considera [tex]$g\in C^1([0,1])$[/tex] tale che [tex]$g(0)=0$[/tex]
Allora la funzione
[tex]$f(x,y)=xg(y)-yg(x)$[/tex] soddisfa la dis.
[tex]$|f(x,y)|\le |x-y|$[/tex] in un intorno adeguatamente piccolo di [tex]$(0,0)$[/tex]
Buon lavoro.
Risposte
Un piccolo suggerimento? Anch'io ho passato una mezz'oretta di vani tentativi... 
@Steven: buttato un occhio al PM?
Mi sa che funziona anche un po' più in generale.
Infatti, se [tex]g,h \in C^1([-1,1])[/tex] sono tali che [tex]g(0)=0=h(0)[/tex], allora la funzione [tex]f:[-1,1]^2 \ni (x,y) \mapsto h(x)g(y)-h(y)g(x) \in \mathbb{R}[/tex] gode della proprietà:
[tex]\exists U\subseteq [-1,1]^2 \text{ intorno di } (0,0) \text{ tale che } \forall (x,y) \in U, \quad |f(x,y)|\leq |x-y|[/tex].
E probabilmente anche dell'ipotesi che le funzioni siano definite in [tex][-1,1][/tex] (o in un compatto qualsiasi contenente [tex]0[/tex]) si può fare a meno; se però vogliamo sopprimere tale ipotesi bisogna prendere, ad esempio, [tex]g,h \in C^1(\mathbb{R})[/tex] con [tex]g^\prime,h^\prime \in C_0(\mathbb{R})[/tex].
Mi sa che funziona anche un po' più in generale.
Infatti, se [tex]g,h \in C^1([-1,1])[/tex] sono tali che [tex]g(0)=0=h(0)[/tex], allora la funzione [tex]f:[-1,1]^2 \ni (x,y) \mapsto h(x)g(y)-h(y)g(x) \in \mathbb{R}[/tex] gode della proprietà:
[tex]\exists U\subseteq [-1,1]^2 \text{ intorno di } (0,0) \text{ tale che } \forall (x,y) \in U, \quad |f(x,y)|\leq |x-y|[/tex].
E probabilmente anche dell'ipotesi che le funzioni siano definite in [tex][-1,1][/tex] (o in un compatto qualsiasi contenente [tex]0[/tex]) si può fare a meno; se però vogliamo sopprimere tale ipotesi bisogna prendere, ad esempio, [tex]g,h \in C^1(\mathbb{R})[/tex] con [tex]g^\prime,h^\prime \in C_0(\mathbb{R})[/tex].
"Gugo82":
@Steven: buttato un occhio al PM?
Sì
Cirasa, scrivo lo stesso suggerimento che riportava anche il testo: Lagrange in una variabile!
Se lo volessi, posto il link alla soluzione.
La dimostrazione è corta comunque.
A presto!
Up.
Vorrei vedere se qualcuno ha qualcosa da dire su questo esercizietto.
Vorrei vedere se qualcuno ha qualcosa da dire su questo esercizietto.
Io prenderei un intorno di $x=0$ dove $|g(x)|\leq 1/2$ e $|g'(x)|\leq C$; in tale intorno
$|g(y)-g(x)| \leq C|x-y|$.
Eventualmente restringendo l'intorno ad un raggio $1/(2C)$, da
$|f(x,y)| \leq |x| \cdot |g(y)-g(x)| + |g(x)|\cdot |x-y|$
segue la tesi.
$|g(y)-g(x)| \leq C|x-y|$.
Eventualmente restringendo l'intorno ad un raggio $1/(2C)$, da
$|f(x,y)| \leq |x| \cdot |g(y)-g(x)| + |g(x)|\cdot |x-y|$
segue la tesi.
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