Circonferenze tangenti - SNS 1979
"Si considerino due circonferenze $C$ e $C_1$, di raggi rispettivamente $R$ ed $R_1$, tra loro tangenti esternamente ad un punto $P$, ed una retta $alpha$, tangente ad entrambe, non passante per $P$.
Siano poi:
$C_2$, la circonferenza tangente ad $alpha$, a $C$ ed a $C_1$, di raggio $R_2>R_1$;
$C_3$, la circonferenze tangente ad $alpha$, a $C$ ed a $C_2$, di raggio $R_3>R_2$;
...
$C_(k+1)$, la circonferenza tangente ad $alpha$, a $C$ ed a $C_k$, di raggio $R_(k+1)>R_k$;
...
Sapendo che $R=100R_1$, trovare, al variare dell'intero $k$, il valore di $R_k$, e dire se i cerchi $C_k$ esistono per ogni $k$; in caso contrario, trovare il massimo $k$ per cui $C_k$ esiste.
(Si consiglia di determinare preliminarmente la relazione che intercorre fra i raggi di tre cerchi, ciascuno dei quali tangenti esternamente agli altri due, e tutti tangenti ad una stessa retta)."
Vorrei innanzitutto partire dall'ultimo suggerimento, e quindi concentrarmi sul caso di soli tre cerchi. Considero tre cerchi di raggio $r_1$, $r_2$, $r_3$ (per non confonderli ancora con i cerchi di raggio $R_i$) tangenti alla stessa retta e ciascuno tangente agli altri due. Traccio i segmenti che uniscono a due a due i centri dei tre cerchi e traccio per ciascun centro la perpendicolare alla retta. In questo modo ottengo tre trapezi rettangoli, di cui conosco le basi (che sono i raggi dei cerchi) e i lati obliqui (che sono la somma di due raggi alla volta).
Considero il trapezio rettangolo formato dalla congiungente fra i centri dei cerchi di raggi $r_1$ e $r_2$, con $r_1
La condizione è che $A_2A_3=A_2A_1+A_1A_3$, cioè $sqrt(r_1*r_2)+sqrt(r_1*r_3)=sqrt(r_2*r_3)$.
E' questa la relazione?
Grazie mille dell'aiuto.
Siano poi:
$C_2$, la circonferenza tangente ad $alpha$, a $C$ ed a $C_1$, di raggio $R_2>R_1$;
$C_3$, la circonferenze tangente ad $alpha$, a $C$ ed a $C_2$, di raggio $R_3>R_2$;
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$C_(k+1)$, la circonferenza tangente ad $alpha$, a $C$ ed a $C_k$, di raggio $R_(k+1)>R_k$;
...
Sapendo che $R=100R_1$, trovare, al variare dell'intero $k$, il valore di $R_k$, e dire se i cerchi $C_k$ esistono per ogni $k$; in caso contrario, trovare il massimo $k$ per cui $C_k$ esiste.
(Si consiglia di determinare preliminarmente la relazione che intercorre fra i raggi di tre cerchi, ciascuno dei quali tangenti esternamente agli altri due, e tutti tangenti ad una stessa retta)."
Vorrei innanzitutto partire dall'ultimo suggerimento, e quindi concentrarmi sul caso di soli tre cerchi. Considero tre cerchi di raggio $r_1$, $r_2$, $r_3$ (per non confonderli ancora con i cerchi di raggio $R_i$) tangenti alla stessa retta e ciascuno tangente agli altri due. Traccio i segmenti che uniscono a due a due i centri dei tre cerchi e traccio per ciascun centro la perpendicolare alla retta. In questo modo ottengo tre trapezi rettangoli, di cui conosco le basi (che sono i raggi dei cerchi) e i lati obliqui (che sono la somma di due raggi alla volta).
Considero il trapezio rettangolo formato dalla congiungente fra i centri dei cerchi di raggi $r_1$ e $r_2$, con $r_1
La condizione è che $A_2A_3=A_2A_1+A_1A_3$, cioè $sqrt(r_1*r_2)+sqrt(r_1*r_3)=sqrt(r_2*r_3)$.
E' questa la relazione?
Grazie mille dell'aiuto.
Risposte
Bel problema! Per ora non c'ho capito na mazza, ma è un bel problema!
P.S.
Ma hai deciso di risolvere tutti i problemi posti dalla SNS dalle origini ad oggi?! Ammirevole. Complimenti!
P.S.
Ma hai deciso di risolvere tutti i problemi posti dalla SNS dalle origini ad oggi?! Ammirevole. Complimenti!
Allora aspetto che le mazze si svelino ai tuoi occhi..! Sì qualcosa del genere, voglio vincere un premio al coraggio! 
"elios":
Allora aspetto che le mazze si svelino ai tuoi occhi..!
E beh... allora stiamo freschi
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