Esempio di omomorfismo discontinuo tra algebre di Banach
Salve a tutti,
Sto preparando per l'esame di Analisi Superiore un seminario in cui devo mostrare il fatto che gli omomorfismi tra algebre di Banach possono essere discontinui mentre se si considerano omomorfismi tra C* - algebre allora sono automaticamente continui. Cercavo un breve esempio di omomorfismo tra algebre di Banach che sia discontinuo in modo da arricchire la mia trattazione. Grazie anticipatamente per i suggerimenti!
Sto preparando per l'esame di Analisi Superiore un seminario in cui devo mostrare il fatto che gli omomorfismi tra algebre di Banach possono essere discontinui mentre se si considerano omomorfismi tra C* - algebre allora sono automaticamente continui. Cercavo un breve esempio di omomorfismo tra algebre di Banach che sia discontinuo in modo da arricchire la mia trattazione. Grazie anticipatamente per i suggerimenti!
Risposte
http://math.stackexchange.com/questions ... s-not-cont questo dovrebbe fare al caso tuo; credo in particolare che l'esempio di Gaebler sia quello minimale, più adatto a fare da esempio a un seminario.
Dunque se ho capito bene posso prendere un funzionale lineare già in partenza discontinuo tra E spazio di Banach e C. La cosa che non mi è chiara è il passaggio ad E_0 e C_0 che mi consente di ottenere algebre di Banach e inoltre come lo posso definire esplicitamente...Grazie 
Ci sono sempre dei problemi a definire le categorie di spazi di Banach; io prendo d'ufficio \({\bf Ban}_1\), quella che ha per morfismi le contrazioni (ovvero le funzioni lineari \(f\colon H\to K\) tali che \(\|fv\|\le \|v\|\)). Tra gli altri motivi, questa categoria ha buone proprieta' di compattezza (per esempio, e' \(\aleph_1\)-presentabile).
In questa situazione la sottocategoria \(\bf BAlg\) delle algebre di Banach e' riflessiva in \({\bf Ban}_1\), ovvero il funtore dimenticante che include la categoria piccola in quella grande ammette un aggiunto sinistro: questo aggiunto sinistro e' fatto esattamente in modo tale da mandare \(H\in {\bf Ban}_1\) nell'algebra di Banach che ha l'operazione definita costantemente zero. E' infatti praticamente una tautologia che per ogni algebra di Banach $K$ si abbia
\[
\hom_{\bf BAlg}(H_0,K) \cong \hom_{{\bf Ban}_1}(H,K).
\]Questo ti da' ragione di come e' definita la corrispondenza \((-)_0\colon {\bf Ban}_1 \to {\bf BAlg} \). Cio' che viene detto nel commento di MO e' che adesso, partendo da un omomorfismo discontinuo tra spazi di Banach, questo rimande discontinuo passando alle algebre di Banach "minimali" indotte dal funtore $(-)_0$; d'altra parte questo e' ovvio: per influenzare la topologia una mera struttura d'algebra non e' sufficiente, ci vuole qualcosa di piu' raffinato (per esempio una C*-algebra, come inizialmente dicevi tu).
In questa situazione la sottocategoria \(\bf BAlg\) delle algebre di Banach e' riflessiva in \({\bf Ban}_1\), ovvero il funtore dimenticante che include la categoria piccola in quella grande ammette un aggiunto sinistro: questo aggiunto sinistro e' fatto esattamente in modo tale da mandare \(H\in {\bf Ban}_1\) nell'algebra di Banach che ha l'operazione definita costantemente zero. E' infatti praticamente una tautologia che per ogni algebra di Banach $K$ si abbia
\[
\hom_{\bf BAlg}(H_0,K) \cong \hom_{{\bf Ban}_1}(H,K).
\]Questo ti da' ragione di come e' definita la corrispondenza \((-)_0\colon {\bf Ban}_1 \to {\bf BAlg} \). Cio' che viene detto nel commento di MO e' che adesso, partendo da un omomorfismo discontinuo tra spazi di Banach, questo rimande discontinuo passando alle algebre di Banach "minimali" indotte dal funtore $(-)_0$; d'altra parte questo e' ovvio: per influenzare la topologia una mera struttura d'algebra non e' sufficiente, ci vuole qualcosa di piu' raffinato (per esempio una C*-algebra, come inizialmente dicevi tu).
Apprezzo la tua buona volontà ma non avendo finora trattato di Teoria delle Categorie inserire tale esempio mi sembra un po' forzato anche perché non saprei spiegarlo in maniera completa a meno che non si possa spiegare in maniera più pratica...
Ma non e' per niente necessario! 
Io ti ho spiegato cosa sia $(-)_0$, da dove venga e perche' faccia il lavoro che vuoi, pero' si tratta semplicemente di questo:
1) L'assioma della scelta ti garantisce che esista un omomorfismo non continuo \(H\to \mathbb C\)
2) Se io prendo le algebre di Banach "minimali" generate da dominio e codominio (dove in entrambe, cioe', il prodotto e' zero: ma io sospetto che non si debba nemmeno cambiare il prodotto su \(\mathbb C\), e basti invece definirlo in modo banale solo sul dominio) di questo omomorfismo lineare, le topologie rispettive non cambiano, dunque il morfismo resta discontinuo.
Fine; non mi sembra complicato (molto meno complicato che seguire la bibliografia della prima risposta su MO).
Io ti ho spiegato cosa sia $(-)_0$, da dove venga e perche' faccia il lavoro che vuoi, pero' si tratta semplicemente di questo: 1) L'assioma della scelta ti garantisce che esista un omomorfismo non continuo \(H\to \mathbb C\)
2) Se io prendo le algebre di Banach "minimali" generate da dominio e codominio (dove in entrambe, cioe', il prodotto e' zero: ma io sospetto che non si debba nemmeno cambiare il prodotto su \(\mathbb C\), e basti invece definirlo in modo banale solo sul dominio) di questo omomorfismo lineare, le topologie rispettive non cambiano, dunque il morfismo resta discontinuo.
Fine; non mi sembra complicato (molto meno complicato che seguire la bibliografia della prima risposta su MO).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo