Simplettomorfismi da una varieta' alla sua opposta

[killing_buddha]

Il primo di due problemi che ci avrei tenuto a risolvere ma nessuno ha mai [strike]cag-[/strike]considerato.

Data una varieta' simplettica $\mathcal M=(M,\omega)$ chiamo $\mathcal M^-$ la varieta' simplettica ottenuta cambiando segno alla forma, $\mathcal M^{-} =(M,-\omega)$. La mia domanda, forse molto banale, e': a che condizioni esistono simplettomorfismi $\mathcal M\to \mathcal M^-$?

[ciampax]

Non so se ho capito bene quello che cerchi, però mi verrebbe da dire quanto segue. Supposto che $f$ sia un diffeomorfismo sulle due varietà, e quindi una trasformazione di $M$ in $M$, la condizione di simplettomorfismo viene ottenuta quando $f^*(-\omega)=\omega$. Ora, ragionando per coordinate locali, sia $\{X_i\}$ riferimento su $\mathcal{M}$ e $\{Y_i\}$ riferimento su $\mathcal{M}^-$ ottenuto come $df(X_i)=X_i(f^j)\ Y_j$. Se indichiamo con
$$\Omega_{ij}=\omega(X_i,X_j),\qquad \bar{\Omega}_{ij}=-\omega(Y_i,Y_j)$$
la condizione precedente per il pullback si riscrive come
$$\Omega_{ij}=\omega(X_i,X_j)=-\omega(df(X_i),df(X_j))=-\omega(X_i(f^h)\ Y_h,X_j(f^k)\ Y_k)=X_i(f^h)\ X_j(f^k)\ \bar{\Omega}_{hk}$$
che mi sembra una condizione ragionevole.

P.S.: perdona la poca "rigorosità" ma all'una di notte non riuscivo ad essere maggiormente preciso. Magari ci ritorno domani a mente lucida.

[killing_buddha]

A suo tempo desunsi che deve esserci anche una qualche condizione sulla coomologia di $M$; ti risulta una cosa del genere?

[ciampax]

Intendi sulla coomologia di de Rham? Effettivamente può starci: considerando che entrambe le forme simplettiche devono essere chiuse, una qualche relazione sui gruppi coomologici (almeno sugli 1-gruppi) dovrebbe esserci. Ma non so se, nel caso specifico, risulta una cosa generale. Se domani (oggi) ho tempo, do un'occhiata (sempre che riesca a trovarlo) ad un libro in cui dovrebbe parlare in generale sulle proprietà dei simplettomorfismi e ti faccio sapere.