Una funzione aritmetica...

[caos81]

Giocherellando con le serie di Dirichet mi sono imbattuto in una funzione, l'ho chiamata $P_k(n)$, definita come
$$
P_k(n)\stackrel{def}{:=}\sum_{d \;\!\mid\;\! n}{k^d}
$$

Ora, banalmente vale $P_0(n)=0$ e $P_1(n)=\sigma_0(n)=\tau(n)=d(n)$. Verificare se
$$
P_i(n)=\sum_{d \;\!\mid\;\! n}{i^d}\qquad(i=\sqrt{-1})
$$

è additiva o moltiplicativa (semplicemente o completamente)

[Studente Anonimo]

Non è additiva dato che [tex]0 = P_i(2) \neq 2i = 2P_i(1)[/tex]. Non è moltiplicativa dato che [tex]P_i(2) P_i(3) = 0 \neq -i-1 = P_i(6)[/tex]. In generale se una funzione è definita da [tex]f(n) = \sum_{d|n} g(d)[/tex] allora [tex]f[/tex] è moltiplicativa se e solo se lo è [tex]g[/tex] (per "[tex]f[/tex] moltiplicativa" intendo che se [tex]a,b[/tex] sono coprimi allora [tex]f(ab)=f(a)f(b)[/tex]). Infatti dalla formula di inversione [tex]g = f \ast \mu[/tex] e [tex]\mu[/tex] è moltiplicativa, e una convoluzione di due funzioni moltiplicative è una funzione moltiplicativa.

[caos81]

"Martino":Non è additiva dato che [tex]0 = P_i(2) \neq 2i = 2P_i(1)[/tex]. Non è moltiplicativa dato che [tex]P_i(2) P_i(3) = 0 \neq -i-1 = P_i(6)[/tex]. In generale se una funzione è definita da [tex]f(n) = \sum_{d|n} g(d)[/tex] allora [tex]f[/tex] è moltiplicativa se e solo se lo è [tex]g[/tex] (per "[tex]f[/tex] moltiplicativa" intendo che se [tex]a,b[/tex] sono coprimi allora [tex]f(ab)=f(a)f(b)[/tex]). Infatti dalla formula di inversione [tex]g = f \ast \mu[/tex] e [tex]\mu[/tex] è moltiplicativa, e una convoluzione di due funzioni moltiplicative è una funzione moltiplicativa.

bravissimo Martino...ah, finalmente qualcuno che risponde ai miei post...