Facile facile...

[caos81]

Mostrare che $\forall\Re(s)>1$
$$
\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{\sigma_0(n)}{n^s}}=\zeta^2(s)
$$

dove $\sigma$ è la Funzione sigma sui positivi e $\zeta$ la funzione zeta di Riemann.

[caos81]

Allora, dalla teoria sulle serie di Dirichlet sappiamo che il prodotto di due L-serie del tipo
$$
\operatorname{L}(s,a)\cdot\operatorname{L}(s,b)=\left(\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{a(n)}{n^s}}\right)\cdot\left(\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{b(n)}{n^s}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(a\star b)(n)}{n^s}}
$$
dove il simbolo $star$ indica l'operatore di convoluzione di Dirichlet. Ora, consideriamo la ben nota funzione unità $u :\mathbb{N}\rightarrow 1$, il suo prodotto di convoluzione (secondo Dirichlet) sarà
$$
(1\star 1)(n)=\sum_{d \;\!\mid\;\! n}{1(d)1\left(\frac{n}{d}\right)}=1\cdot1+1\cdot 1+...(d \;\!\mid\;\! n\;\rm{volte})=\sigma_0(n)
$$
quindi la somma di partenza può scriversi come
$$
\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sigma_0(n)}{n^s}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(1\star 1)(n)}{n^s}}=\left(\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^s}}\right)\cdot\left(\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^s}}\right)=\zeta(s)\cdot\zeta(s)=\zeta^2(s)\,.
$$

Cioè in sostanza bastava ricordare che $(1\star 1)(n)=\sigma_0(n)$.

[Zero87]

Nelle prime pagine del Titchmarsh (the theory of Riemann zeta-function) si trova questo più tanti altri fatti che legano espressioni della $\zeta$ a funzioni aritmetiche.

Parli spesso di $\zeta$ e numeri complessi nei tuoi post quindi... mi sa che lo sapevi già.