Il test dei tre punti
Intendo proporre un problema che secondo me è davvero molto bello: ne ho parlato un po' con miei colleghi, è un po' di giorni che ci pensiamo ma non è uscito nulla (l'ho messo anche su SciMat).
Problema. Detto \(D \subset \mathbb C\) il disco aperto unitario nel piano complesso, sia \( f \colon D \to D\) una funzione che soddisfi questa proprietà: per ogni tre punti \( z_1, z_2, z_3 \in D\) esiste una funzione olomorfa \(g \colon D \to D\) t.c. \(f(z_k)=g(z_k)\) per $k=1,2,3$.
Provare che $f$ è olomorfa.
Problema. Detto \(D \subset \mathbb C\) il disco aperto unitario nel piano complesso, sia \( f \colon D \to D\) una funzione che soddisfi questa proprietà: per ogni tre punti \( z_1, z_2, z_3 \in D\) esiste una funzione olomorfa \(g \colon D \to D\) t.c. \(f(z_k)=g(z_k)\) per $k=1,2,3$.
Provare che $f$ è olomorfa.
Risposte
Da pessimo profano mi sono messo a pensarci su e mi è venuto un dubbio:
prendendo \(f(z) = \overline{z}\)(che non è olomorfa) e assumendo per dimostrato il teorema avremo che esistono tre punti \(z_1, z_2, z_3 \in D\) tali che non esistono funzioni olomorfe che mappano quei tre punti rispettivamente in \(\overline{z_1}, \overline{z_2}, \overline{z_3}\).
Ora dalle tre coppie di punti dovrebbe essere possibile costruire una trasformazione di Mobius(che è conforme e quindi olomorfa), inoltre il disco unitario è semplicemente connesso quindi il codominio della trasformazione(che è continua) dovrebbe essere sempre semplicemente connesso, ma per il teorema della mappa di Riemann esiste una funzione olomorfa da quest'ultimo al disco unitario e perciò la composizione dovrebbe essere olomorfa(assurdo).
In quale punto sbaglio?
Comunque bello il problema
prendendo \(f(z) = \overline{z}\)(che non è olomorfa) e assumendo per dimostrato il teorema avremo che esistono tre punti \(z_1, z_2, z_3 \in D\) tali che non esistono funzioni olomorfe che mappano quei tre punti rispettivamente in \(\overline{z_1}, \overline{z_2}, \overline{z_3}\).
Ora dalle tre coppie di punti dovrebbe essere possibile costruire una trasformazione di Mobius(che è conforme e quindi olomorfa), inoltre il disco unitario è semplicemente connesso quindi il codominio della trasformazione(che è continua) dovrebbe essere sempre semplicemente connesso, ma per il teorema della mappa di Riemann esiste una funzione olomorfa da quest'ultimo al disco unitario e perciò la composizione dovrebbe essere olomorfa(assurdo).
In quale punto sbaglio?
Comunque bello il problema
Ciao!
Sono contento che ti piaccia
Purtroppo sono un po' di corsa, scusami per la risposta frettolosa; tra l'altro, il tuo approccio mi è nuovo (nel senso che io sto cercando di seguire un'altra strada, per ora in modo infruttuoso
), quindi potrei benissimo prendere qualche abbaglio. Ad ogni modo:
A me non sembra che l'immagine continua di un semplicemente connesso sia ancora semplicemente connessa, mi sbaglio? Mi sembra che l'esponenziale complesso sia un controesempio, no? L'immagine è $CC \setminus \{0\}$...).
Grazie per l'interessamento!
"hyoukarou":
Comunque bello il problema
Sono contento che ti piaccia
Purtroppo sono un po' di corsa, scusami per la risposta frettolosa; tra l'altro, il tuo approccio mi è nuovo (nel senso che io sto cercando di seguire un'altra strada, per ora in modo infruttuoso
), quindi potrei benissimo prendere qualche abbaglio. Ad ogni modo: "hyoukarou":
[...] inoltre il disco unitario è semplicemente connesso quindi il codominio della trasformazione(che è continua) dovrebbe essere sempre semplicemente connesso
A me non sembra che l'immagine continua di un semplicemente connesso sia ancora semplicemente connessa, mi sbaglio? Mi sembra che l'esponenziale complesso sia un controesempio, no? L'immagine è $CC \setminus \{0\}$...).
Grazie per l'interessamento!
"Paolo90":
Ciao!
A me non sembra che l'immagine continua di un semplicemente connesso sia ancora semplicemente connessa, mi sbaglio? Mi sembra che l'esponenziale complesso sia un controesempio, no? L'immagine è $CC \setminus \{0\}$...).
Già, inoltre io stavo cercando una funzione olomorfa che mappava \(z_k \rightarrow \overline{z_k}\) per fornire un controesempio ma dopo la composizione non è detto che continui a farlo.
Riguardo un po' di analisi complessa e poi provo a dimostrarlo
Non ho risolto alcunché, però ho trovato...
Ancora non ho alba riguardo a quei 3 punti.
Ancora non ho alba riguardo a quei 3 punti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo