Esercizio di probabilità

[baldo891]

Due giocatori A e B lanciano alternativamente due dadi ciascuno, cominciando con A. Il giocatore A vince in ogni turno se ottiene come somma 6, B se ottiene come somma 7; vince il gioco chi ottiene per primo il suo risultato.
calcolare la probabilità di vittoria di ciascun giocatore.

Non possiedo la soluzione ma solo il risultato, ad una prima vista può sembrare semplice (forse lo è veramente) ma proprio non ci riesco.
La probabilità che lanciando due dadi la somma dia 6 è 5/36 mentre la probabilità di ottenere 7 è 1/6.
tuttavia bisogna considerare che i giocatori lanciano a turno i dadi e questo mi incasina, forse bisogna utilizzare in qualche modo che non mi viene in mente la probabilità condizionata.

[gio73]

Forse dico una sciocchezza...
Consideriamo la prima manche:
affinché A vinca deve verificarsi che il suo lancio totalizza 6, e come hai detto giustamente tu la probabilità che ciò accada è $5/36$, ma contemporaneamente deve avvenire che B non totalizzi 7, quindi devo usare la frazione complementare $5/6$
probabilità che vinca A=$5/36*5/6=25/216$
stesso ragionamento per B
probabilità che vinca B=$31/36*1/6=31/216$
In tutti gli altri casi pareggiano
probabilità di pareggiare $1- (31/216+25/216)=1-56/216=1-7/27=20/27$
Può essere un inizio?

[baldo891]

ti dirò che avevo fatto la stessa cosa e avevo considerato anche più manche, tuttavia il calcolo dovrebbe essere iterato per un numero infinito di manche e quindi il calcolo diventa piuttosto pesante.
in ogni caso i risultati sono
$P_a=30/61$
$P_b=31/61$

[beltzer]

Consideriamo due variabili aleatorie geometriche indipendenti [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], di parametri rispettivamente [tex]p_A=5/36[/tex] e [tex]p_B=1/6[/tex], che modellizzano il numero di insuccessi prima del primo successo dei due giocatori.
il giocatore [tex]A[/tex] vince all'ennesimo lancio se [tex]A=n[/tex] e [tex]B>n[/tex].
Quindi la probabilità che il giocatore vinca all'ennesimo lancio è:

[tex]prob(A=n|B\geq n)=prob(A=n)prob(B\geq n)=p_A(1-p_A)^n(1-prob(Y p_A(1-p_A)^n(1-1+(1-p_B)^{n+1}+p_B(1-p_B)^n)=p_A((1-p_A)(1-p_B))^{n}[/tex]

Ora, la probabilità che vinca [tex]A[/tex] si trova sommando le varie probabilità per [tex]n\geq 0[/tex]

[tex]P_A=[/tex] $ sum_(n=0)^(+oo) p_A((1-p_A)(1-p_B))^{n} =p_A sum_(n=0)^(+oo)((1-p_A)(1-p_B))^{n}=p_A(1/{1-(1-p_A)(1-p_B)})=30/61$
Vi torna?

[superpippone]

Io penso che la soluzione sia molto più semplice.
Possiamo spezzare il gioco in serie di due eventi, ovvero 2 lanci : uno di A ed uno di B.
Se nessuno vince si ricomincia.
Allora A ha probabilità di vincita $5/36$ ovvero $30/216$.

B ha probabilità di vincita $31/36*1/6=31/216$.

Da ciò si evince che le probabilità vincenti totali sono $30+31=61$ di cui $30$ per A e $31$ per B.

Perciò $A=30/61$ e $B=31/61$