Quanti $2$ nell'intervallo $n^2$, $(n+1)^2$

[Andrea571]

Buongiorno, mi servirebbe una mano

E' possibile dimostrare quanti fattori $2$ al massimo possano essere presenti in un dato intervallo $n^2$, $(n+1)^2$, $n in NN$?

Esempi:

Tra $4$ e $9$: abbiamo $5,6,7,8 ( 6="2"*3, 8="2^3"$), gli altri sono dispari, quindi $4$ fattori $2$;
$9 - 16$: $4$;
$16 - 25$: $7$;
$100 - 121$: $19$;
$8100 - 8281$: $184$

Normalmente sono tutti $<= 2n$, ma nell'ultimo caso supera $2n$ di $4$ fattori...?

E' quindi dimostrabile quanti al massimo ce ne possono essere?

Grazie

[dan952]

Sia $N_2(m)$ il numero di volte che si incontra il fattore 2 nei primi m numeri naturali, allora:
$$N_2(m)=\sum_{i=1}^{[\log_2m]}\left[\frac{m}{2^i}\right]\leq m\sum_{i=1}^{[\log_2m]}2^{-i}$$
L'ultima sommatoria può essere semplificata con una nota relazione. Se vuoi sapere il numero in un certo intervallo m-n basta fare $N_2(m)-N_2(n)$.