Equazione algebrica ... scorbutica

[Erasmus_First]

Dati quattro numeri interi positivi $a$, $b$, $c$ e $d$ soggetti alla condizione che ciascuno di essi è minore della somma degli altri tre:
a) risolvere l'equazione in $x$
$asqrt(4x^2 - a^2) + bsqrt(4x^2 - b^2) + csqrt(4x^2 - c^2) + dsqrt(4x^2 - d^2) =$
$= sqrt((-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d))$;
b) dare un'interpretazione geometrica al problema.

–––––––



P.S.
Oops!
Chiedo venia!
C'era un 4 di troppo!
Ho corretto ... sperando che ora vada bene (ma ormai ... non sono più sicuro di niente )

[j18eos]

Ho fatto un calcolo così, a vuoto...

Io inizio con quel simpatico prodotto sotto radice quadrata:
\[
(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)=\\
=[-(a-b)+(c+d)][(a-b)+(c+d)][(a+b)-(c-d)][(a+b)+(c-d)]=\\
[(c+d)^2-(a-b)^2][(a+b)^2-(c-d)^2]=\\
=(a+b)^2(c+d)^2-(a+b)^2(a-b)^2+(a-b)^2(c-d)^2-(c+d)^2(c-d)^2=\\
=(a+b)^2(c+d)^2+(a-b)^2(c-d)^2-(a^2-b^2)^2-(c^2-d^2)^2=\\
=(a^2+b^2+2ab)(c^2+d^2+2cd)+(a^2+b^2-2ab)(c^2+d^2-2cd)-(a^2-b^2)^2-(c^2-d^2)^2=\\
=...=
2a^2c^2+2a^2d^2+2b^2c^2+2b^2d^2+8abcd+2a^2b^2+2c^2d^2-a^4-b^4-c^4-d^4
\]
che una volta svolto non mi dice nulla...

[Pachisi]

Non so quanto possa essere utile, ma posto un'idea:

Premetto di non aver neanche provato a risolvere l'equazione. Infatti, posto solo un'interpretazione geometrica:
Dalla condizione che ciascuno dei quattro numeri interi positivi è minore della somma degli altri tre, possiamo considerare il quadrilatero con lati $a,b,c,d$. Ora, quel prodtto sotto la radice e` $4$ volte l'area del quadrilatero di lati $a,b,c,d$, con la condizione di essere inscritto in una circonferenza. Ognuno dei quattro membri nella parte sinistra dell'equazione si puo` considerare nel seguente modo: costruiamo su ogni lato, un triangolo rettangolo con ipotenusa di lunghezza $2x$, allora $sqrt(4x^2-a^2)$, $ sqrt(4x^2-b^2)$, $sqrt(4x^2-c^2)$ e $sqrt(4x^2-d^2)$, rappresentano, rispettivamente, l'altro cateto del triangolo rettangolo costruito sui lati $a,b,c,d$. Dunque, $asqrt(4x^2-a^2)$ rappresenta il doppio dell'area del triangolo rettangolo costruito sul lato $a$, con ipotenusa $2x$. Stessa cosa per gli altri. La somma $ asqrt(4x^2 - a^2) + bsqrt(4x^2 - b^2) + csqrt(4x^2 - c^2) + dsqrt(4x^2 - d^2) $ allora e` $4$ volte l'area del quadrilatero.
Per risolvere l'equazione bisogna trovare un $x$ tale che cio` sia vero...
(Non so se sono stato utile...)

[j18eos]

Io faccio una semplificazione: \(\displaystyle a=b=c=d>0\) allora:
\[
4a\sqrt{4x^2-a^2}=\sqrt{16a^4}\\
4a\sqrt{4x^2-a^2}=4a^2\\
\sqrt{4x^2-a^2}=a\\
\vdots\\
x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}a
\]
e domando ad Erasmus_First se questa soluzione corrisponde a qualcosa della sua idea originale; dato che c'è stata una correzione.

[Frink1]

"j18eos":Io faccio una semplificazione: \(\displaystyle a=b=c=d>0\) allora:
\[
4a\sqrt{4x^2-a^2}=\sqrt{16a^4}\\
4a\sqrt{4x^2-a^2}=4a^2\\
\sqrt{4x^2-a^2}=a\\
\vdots\\
x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}a
\]
e domando ad Erasmus_First se questa soluzione corrisponde a qualcosa della sua idea originale; dato che c'è stata una correzione.

Se quella di j18eos corrisponde ad un quadrato, la mia corrisponde ad un rettangolo:

Siano wlog \(\displaystyle a=c, b=d\). L'area (secondo l'interpretazione di Pachisi, che mai mi sarebbe venuta in mente) al secondo membro diventa $ \sqrt{(4ab)^2}=4ab $, mentre il primo membro diventa $ 2a \sqrt{4x^2-a^2}+2b \sqrt{4x^2-b^2} $. E' piuttosto banale, anche graficamente, la soluzione che prevede $ \sqrt{4x^2-a^2}=b $ e quindi $ x= \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} $

Non sto usando però il fatto che angoli opposti siano supplementari (o meglio, lo uso solo interpretando il secondo membro come area, sempre secondo l'interpretazione che vede il quadrilatero inscritto in una circonferenza). Non sono riuscito a trovare nulla di più generale...

[Erasmus_First]

NB: Ho chiamato "scorbutica" questa equazione perché, a differenza di quelle con al massimo tre addendi con radicali (o anche 4, ma allora senza nient'altro), non si lascia razionalizzare con quadrature.
Per risolverla ... occorre escogitare qualcos'altro.

"Pachisi":

[...] solo un'interpretazione geometrica:
Dalla condizione che ciascuno dei quattro numeri interi positivi è minore della somma degli altri tre, possiamo considerare il quadrilatero con lati $a,b,c,d$. Ora, quel prodtto sotto la radice e` $4$ volte l'area del quadrilatero di lati $a,b,c,d$, con la condizione di essere inscritto in una circonferenza.

. Ancora un passo ... e sei arrivato!

Hai già capito che a destra c'è il quadruplo dell'area di un quadrilatero di lati $a$, $b$, $c$ e $d$ con i vertici su una circonferenza a lui "circoscritta". A sinistra ci sono quattro addendi tutti con radicali, ma sarà pure anche il membro sinistro uguale al quadruplo di quell'area. Prova a tirar fuori da ciascun radicale un "2" e ad evidenziare un fattore quattro: vedi allora che il 1° membro lo puoi trasformare così:

$asqrt(4x^2 - a^2) + bsqrt(4x^2 - b^2) + csqrt(4x^2 - c^2) + dsqrt(4x^2 - d^2) =$
$= 4[a/2sqrt(x^2 - (a/2)^2) + b/2sqrt(x^2 - (b/2)^2) + c/2sqrt(x^2 - (c/2)^2) + d/2sqrt(x^2 - (d/2)^2)]$.

Ora puoi dividere per 4 entrambi i membri. L'area del quadrilatero (esplicitamente scritta a destra) è scritta a sinistra in quattro addendi, ossia ripartita in quattro pezzi ...
Ritorna sul tuo quadrilatero circoscritto ... e completa l'interpretazione geometrica cercando di vedere chi sarà mai 'sta incognita x...
[Ed osserva anche che ogni triangolo isoscele lo puoi pensare una coppia di triangoli rettangoli uguali affiancati lungo un cateto ...].

[Erasmus_First]

@ j18eos e Frink
Avete risolto casi particolari (quadrato il quadrilatero di j18eos; rettangolo quello di Frink). Ma ugualmente ...potreste chiedervi: «Nell'interpretazione geometrica, ' che mi rappresenta 'sta incognita x? »
(Questa x ... che per un quadrato di lato $a$ vale $(sqrt(2)·a)/2$ e per un rettangolo di lati $a$ e $b$ vale $(sqrt(a^2 + b^2))/2$ ).
–––––––

[orsoulx]

$ x= sqrt((ab+cd)(ac+bd)(ad+bc))/sqrt((-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)) $

Ciao

[Pachisi]

La $x$ vale meta` della diagonale maggiore?

[orsoulx]

Come hai ben detto nell'altro intervento. L'incognita è il raggio della circonferenza circoscritta al quadrilatero. Vale la metà della diagonale maggiore se questa diagonale è un diametro, cioè se il quadrilatero ha due angoli opposti retti.

Ciao

[Pachisi]

Grazie per la precisazione.

[Erasmus_First]

Ho messo il problema in due punti a) e b). Il secondo punto ... viene dopo il primo!
Al punto a) si chiede di risolvere una equazione algebrica "scorbutica", al punto b) di dare l'interpretazione geometrica di quell'equazione. Questa consiste nel riconoscere che l'incognita x dell'equazione "scorbutica" è il raggio del cerchio circoscritto ad un quadrilatero circoscrittibile di lati a, b, c e d. Infatti, osservando che un tale quadrilatero è scomponibile in quattro triangoli isosceli in ciascuno dei quali la base è un lato del quadrilatero e i due lati uguali sono raggi del cerchio circoscritto al quadrilatero, nel membro sinistro dell'equazione "scorbutica" si può leggere il quadruplo della somma delle aree di questi triangoli isosceli, e nel membro di destra direttamente il quadruplo dell'area del quadrilatero.
Pertanto, l'interpretazione geometrica consente di risolvere l'equazione ... senza trattarla direttamente, ma trovando per altra via il raggio del cerchio circoscritto al quadrilatero.

Ma supponiamo che il punto b) non ci sia, supponiamo cioè di affrontare l'equazione del punto a) per via puramente algebrica. Oppure – fa lo stesso – andiamo in ordine: prima risolviamo l'equazione "algebrica", poi ne daremo l'interpretazione geometrica.

NB. Ho messo in questa sezione questo problema pensando che poteva essere un utile esercizio a livello universitario ... ed in omaggio al titolo della sezione stessa: [size=100]«Pensare un po' di più»[/size].
Si tratta infatti di rilevare qualcosa che va oltre il consueto trattamento delle equazioni algebriche.

Rimetto, per comodità, il testo dell'equazione. E poi ... qualche osservazione che può sembrare noiosa e lapalissiana ... ma potrebbe forse porgere un qualche "indizio" sul come procedere.
Aspetto un po' ... e se nessuno risolverà l'equazione, il come procedere lo mostrerò io.

"Erasmus_First":Dati quattro numeri interi positivi $a$, $b$, $c$ e $d$ soggetti alla condizione che ciascuno di essi è minore della somma degli altri tre, risolvere l'equazione in $x$:
$asqrt(4x^2 - a^2) + bsqrt(4x^2 - b^2) + csqrt(4x^2 - c^2) + dsqrt(4x^2 - d^2) =$
$= sqrt((-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d))$.

a) Perché mai i quattro numeri a, b, c e d devono essere interi? No: non è che devono essere interi. Ma se lo sono, è intero il radicando del membro destro ; e lo stesso membro destro potrebbe essere intero ... e tale deve essere anche il sinistro.
[Per esempio per: a=4; b=11; c = 16; d = 19, il membro destro viene 504].
b) Entrambi i membri sono invarianti alle permutazioni delle lettere, A destra la permutazione delle lettere conduce a permutazione dei fattori (ma il prodotto è commutativo); a sinistra conduce a permutazione degli addendi (ma la somma è commutativa). Svolgendo i prodotti nel radicando di destra si perviene alla radice di un polinomio in quattro indeterminate. Proviamo a vedere se allora questo polinomio, dissociando e associando opportunamente, si può leggere come somma di quattro addendi tali che il permutare le lettere produca una loro permutazione (analogamente a quanto succede nel primo membro ...).

Ciao, ciao

[Erasmus_First]

"Erasmus_First":[...] Aspetto un po' ... e se nessuno risolverà l'equazione, il come procedere lo mostrerò io.

Ecco qua.
Moltiplico entrambi i membri per il membro destro [diciamolo $sqrt(P(a, b, c, d))$ ].
A destra mi viene un polinomio [nelle indeterminate $a$, $b$, $c$ e $d$] – $P$ appunto – (cioè una espressione razionale intera).
A sinistra distribuisco il fattore $sqrtP$ a ciascuno dei quattro addendi del primo membro, ma lo porto sotto radice in ciascuno (moltiplicandone per $P$ il rispettivo radicando). Mi viene dunque un'equazione [equivalente] del tipo:
$asqrt((4x^2 -a^2)P) + bsqrt((4x^2 -b^2)P) +csqrt((4x^2 -c^2)P) +dsqrt((4x^2 -a^2)P) = P$. (*)
Siccome ora il membro destro è polinomiale, $x^2$ dovrà essere tale che anche il primo membro risulti polinomiale.
Inoltre: se nella (*) scambio tra loro due indeterminate (per esempio $a$ e $b$), si scambiano tra loro due addendi del 1° membro (nell'esempio $asqrt((4x^2 -a^2)P)$ e $bsqrt((4x^2 -b^2)P)$).
Ma allora anche il membro destro $P$ deve essere dissociabile in quattro addendi ordinatamente uguali ai quattro addendi del primo membro [due dei quali si scambiano tra loro con lo scambio tra loro di due delle 4 indeterminate].
Cioè: $P$ deve essere del tipo:
$P = a·A + b·B + c·C + d·D$ (**)
con $A$, $B$, $C$ e $D$ tali che:
$(4x^2-a^2)P = A^2$; $(4x^2-b^2)P = B^2$; $(4x^2-c^2)P = C^2$; $(4x^2-d^2)P = D^2$.
Non mi resta che dissociare opportunamente P [come indicato in (**)] e poi risolvere una qualsiasi delle quattro equazioni equivalenti (***). Prendo la prima
$(4x^2-a^2)P = A^2$
la risolvo e trovo
$x^2 = (A^2 + a^2P)/(4P)$
----------------

Su questa equazione ho scritto un "paper" apposito (piuttosto "pedante" perché completo dei singoli noiosi passaggi).

--> Equazione_scorbutica.png

––––––

[orsoulx]

"Erasmus_First":Ho messo il problema in due punti a) e b). Il secondo punto ... viene dopo il primo! ...

Questa 'a', che vuol sempre arrivare prima della 'b', mi diventa vieppiù antipatica; manca solo che pretenda di trasformare un bacio in un abcio. Cosa aspetta la federazione alfabetica a disporre accertamenti antidoping?
Belle soluzioni e problemi 'blindati' come questo, soddisfano pienamente il fine palato degli intenditori; agli altri resta, per fortuna, l'alternativa dell'ippica.

[Erasmus_First]

"orsoulx":[...]manca solo che pretenda di trasformare un bacio in un abcio.

–––––––––

[Erasmus_First]

[Mi permetto una estensione di questo "topic" (estensione che, a rigore di stretta logica, sarebbe fuori tema).]

Gli $n$ lati del poligono circoscrttibile $A_1A_2...A_n"$ sono lunghi così:
$A_1A_2 = a_1$;
$A_2A_3 = a_2$;
...
$A_(n-1)A_n = a_(n-1)$;
$A_nA_1= a_n$.
• Supposte note le lunghezze $a_1, a_2, ..., a_n$ dei lati, indicare un procedimento per il calcolo dell'area di questo poligono.

Suggerimento:
• Scrivere un'equazione del tipo $F(x, a_1, a_2, ..., a_n)=0$ la cui soluzione $x=f(a_1, a_2, ..., a_n)$ sia il raggio $R$ del cerchio circoscritto.
• Dopodiché l'area $S$ sarà (analogamente a quanto rilevato nel membro sinistro dell'equazione "scorbutica"):
$A =[a_1sqrt(4R^2-a_1^2) + a_2sqrt(4R^2-a_2^2) + ... + a_nsqrt(4R^2 - a_n^2)]/4$.
Modernamente, scritta la funzione $y = F(x, a_1, a_2, ..., a_n)$, non è un problema risolverla disponendo di "calcolatrice grafica" capace di disegnare il grafico cartesiano della funzione.
Io sono in "Apple". Fin dal tempo del "System 9" disponevo di una tale calcolatrice grafica (di nome proprio "Calcolatrice Grafica").
[[size=87]Ora ho un MacBook Pro sul quale la "Calcolatrice Grafica" non gira più.
Adesso adopero il programma "Grapher" che fa molto di più ... anche se – proprio a riguardo della soluzione di equazioni qualsiasi – non fa tutto quello che sapeva fare "Calcolatrice Grafica".[/size]]

[orsoulx]

Mi pareva che questa discussione riguardasse, sia pur in seconda posizione, un quadrilatero inscritto in una circonferenza. Ora leggo

"Erasmus_First":Gli n lati del poligono circoscrttibile A1A2...An sono lunghi così:

Boh! Si tratta di un poligono ciclico?
Ciao

[orsoulx]

Se il poligono è ciclico, a braccio, risolverei l'equazione che si ottiene ponendo la somma degli angoli alla circonferenza che sottendono i lati uguale a $ pi $, valida se il centro della circonferenza appartiene al poligono. Nel caso non vi fossero soluzioni sostituirei all'arcoseno del rapporto fra il lato maggiore e l'incognita (diametro della circonferenza) l'angolo supplementare. Determinato il raggio della circonferenza circoscritta trovare l'area è banale.

Ciao

[Erasmus_First]

"orsoulx":Mi pareva che questa discussione riguardasse, sia pur in seconda posizione, un quadrilatero inscritto in una circonferenza. Ora leggo
[quote="Erasmus_First"]Gli n lati del poligono circoscrttibile A1A2...An sono lunghi così:

Boh! Si tratta di un poligono ciclico?
Ciao[/quote]
Mi pareva d'essere stato chiaro (ed inequivocabile).
Se parlassi di un generico, che so ... "ettagono", lo chiamerei $ABCDEFG$. Va da sé che i 7 vertici sono elencati in ordine "ciclico" (ossia: come si incontrano percorrendo in uno dei due versi il perimetro dell'ettagono).
Trattandosi i un poligono con un numero n di vertici (e di lati), mi è parso opportuno mettere per vertice $A_k$ al posto della k-esima lettera dell'alfabeto.
[Ma se ti è antipatica la A, posso modificare il testo sostituendo tutte le A con altrettante V ("V"come Vertice)

Insomma: sapendo la lunghezza dei lati di un poligono di n vertici (ed n lati, ovviamente con n > 2) inscritto in una circonferenza, che procedimento adopero per calcolarne l'area?
[size=87]
[Quello che ho suggerito e l'equazione per calcolare il raggio del cerchio circoscritto che ho in mente io ... funzionano anche con n = 2. Allora i due lati hanno la stessa lunghezza, diciamola a ...
Oops: "a" no, antipatica com'è (con la pretesa d'esser sempre la "prima donna" di ogni discorso ordinato).
Diciamola u.

L'equazione che ho in mente mi dà R = u/2 e il calcolo dell'area che ho suggerito dà allora A = 0. [/size]
–––––
NB. Mentre sto per inviare, mi accorgo che orsoulx ha replicato.
Amen!
Invio lo stesso.

@ orsoulx
Sì: l'equazione che ho in mente [anche] io è proprio:
$arcsin(a_1/(2x))+ arcsin(a_2/(2x)) + ... + arcsin(a_n/(2x)) – π = 0$.
––––



Ho "editato" per modificare ...

Al fatto che il centro del cerchio circoscritto può essere esterno al poligono [convesso] non avevo pensato ...
In tal caso, un triangolo isoscele (quello di base maggiore e altezza minore) va sottratto invece che aggiunto.

Al posto di:
$arcsin(a_1/(2x))+ arcsin(a_2/(2x)) + ... + arcsin(a_n/(2x)) – π = 0$
è forse meglio mettere
$sin[arcsin(a_1/(2x))+ arcsin(a_2/(2x)) + ... + arcsin(a_n/(2x))] = 0$ (???)
Aspetto ... [eventuali] utili critiche (correttive, costruttive) da parte di orsoulx.

A ri-ciao!

[orsoulx]

"Erasmus_First":Aspetto ... [eventuali] utili critiche (correttive, costruttive) da parte di orsoulx.

E perché solo da orsoulx? Tutti quelli che leggono e provano interesse per la discussione.
L'ultima equazione che proponi risolve solo una parte irrisoria del dilemma legato a dove si trova il centro della circonferenza circoscritta. Bisognerebbe mettere il doppio segno davanti all'arcoseno relativo al lato maggiore. In questo caso, a parte l'intrinseca ambiguità del doppio segno, simbolo che può assumere almeno tre significati diversi, l'equazione diventa una coppia di equazioni ed una sola delle due ammette soluzione.
Per me va bene così,
La situazione si complica notevolmente se si considerano anche i poligoni intrecciati, che non sono esclusi nella tua definizione.
Ciao

[orsoulx]

Credo si possa scrivere un'unica equazione, la cui soluzione sia il raggio della circonferenza circoscritta ad un poligono convesso con lati di lunghezza nota. Però ho usato la funzione segno ed in termini computazionali forse non ci sono vantaggi rispetto ad usarne due.
Ciao