Bordo di convessi

[Thomas16]

Ciao, mi è venuta in mente questa cosa oggi nulla di che
Prendiamo un insieme $P$ finito di punti (a tre a tre non allineati, per semplicità) in $R^2$ ed il suo inviluppo convesso $C$ (il più piccolo convesso contenente questi punti). Scegliamo ora una direzionene e troviamo le rette parallele $r_1$ ed $r_2$ che, "come un calibro", racchiudano l'insieme di punti $P$ (spero la descrizione sia chiara).
Ci saranno dei punti dell'insieme $p_1,p_k$ che appartengono alle rette (almeno uno per retta). E' vero o falso che $p_1,..,p_k$ appartengono al bordo di C?

[Thomas16]

dovrebbe essere poco più una banalità eh

[Frink1]

Mah, a occhio direi che il bordo dell'inviluppo è una poligonale per determinati punti $p_1, \ ... \ , p_n$. Ciascuna retta divide il piano in due semipiani, uno "vuoto" e uno in cui vi sono tutti i punti tranne quelli che incidono con la retta stessa. Chiaramente allora quelli sulla retta fanno parte del bordo $\del D$ dell'inviluppo $D$.

E' troppo poco rigorosa vero? Non saprei come formalizzare...

[Thomas16]

Ciao Frink. Nemmeno io ho formalizzato troppo la mia richiesta, anzi .

Per esempio mi sà che per dare una definizione sensata del calibro che abbia le proprietà che ho assunto mi serve che il set sia finito. Forse basta che sia compreso in un compatto. Ma facciamo che sia finito per semplcità"

Più che altro non ho ben capito il tuo ragionamento però, formale o no"... potresti esplicitare un po' di più il "chiaramente"?

[Thomas16]

*** eliminato il post, aspetto di capire cosa intende Frink ***

[Thomas16]

(by the way, l'insieme di punti e l'inviluppo convesso servono solo per ambientazione... dovrebbe bastare un compatto o anche meno per applicare la costruzione del calibro)

[Frink1]

Scelgo una direzione e individuo un fascio di rette. Vi sono infinite rette che dividono il piano in due semipiani, uno contenente tutti i punti e l'altro che non ne contiene nessuno. Tra queste scelgo l'unica che incide uno (o più) punti del set. Questi punti di incidenza sono punti di frontiera.
Dimostriamolo: R.A.A. il punto è interno all'inviluppo. Siccome il punto è nell'interno di $D$, abbiamo che esiste una Ball di raggio $\epsilon$ del punto che contiene punti dell'interno di $D$. Ma la Ball è circolare, quindi la retta la divide a metà, quindi esistono punti di $D$ anche dall'altro lato della retta: assurdo. Allora il punto deve essere di frontiera.

Continuo a mettere sotto spoiler... In realtà mi vien da pensare che anche se fossero infiniti, finché puoi costruire un inviluppo convesso non banale (i.e. non $\mathbb{R}^2$) sei certo che siano compresi in un'area finita.

[Thomas16]

"Frink":Scelgo una direzione e individuo un fascio di rette. Vi sono infinite rette che dividono il piano in due semipiani, uno contenente tutti i punti e l'altro che non ne contiene nessuno. Tra queste scelgo l'unica che incide uno (o più) punti del set.

ce ne sono almeno due però.

"Frink":
[Questi punti di incidenza sono punti di frontiera.
Dimostriamolo: R.A.A. il punto è interno all'inviluppo. Siccome il punto è nell'interno di $ D $, abbiamo che esiste una Ball di raggio $ \epsilon $ del punto che contiene punti dell'interno di $ D $. Ma la Ball è circolare, quindi la retta la divide a metà, quindi esistono punti di $ D $ anche dall'altro lato della retta: assurdo. Allora il punto deve essere di frontiera.

Ok sappiamo che esistono punti di D, ma mi pare che per come è il ragionamento per trovare un assurdo dovresti trovare uno dei punti $p_1,...,p_k$ e non solo punti di $D$,
Capisco che molte delle cose sono ovvie, ma la difficoltà dell'esercizio sta nel dimostrare l'ovvio...

[Frink1]

"Thomas":
ce ne sono almeno due però.

Sì, il ragionamento si estende alla seconda retta in maniera identica, dimostrando questo "calibro".

"Thomas":
Ok sappiamo che esistono punti di D, ma mi pare che per come è il ragionamento per trovare un assurdo dovresti trovare uno dei punti $p_1,...,p_k$ e non solo punti di $D$,
Capisco che molte delle cose sono ovvie, ma la difficoltà dell'esercizio sta nel dimostrare l'ovvio...

A me serve dimostrare che il punto (o i punti, ma di nuovo il ragionamento si estende senza problemi) di incidenza della retta sono di frontiera. Non devo per forza trovare uno dei punti $p_1, \ ... \ ,p_k$ per come è definita la frontiera di un insieme. Infatti se quel punto non fosse di frontiera, ho dimostrato che posso trovare dei punti dell'inviluppo che stanno nel piano "vuoto" della retta, e questo è assurdo per come ho scelto la retta. L'unica cosa che resterebbe da dimostrare è che la retta che trovo incide la frontiera in uno di questi punti e non altrove, ma questo segue dal fatto che la frontiera di un inviluppo convesso sia poligonale, infatti si danno due casi:
- il fascio scelto è parallelo ad un lato della poligonale (nel qual caso l'intersezione sarà con il lato intero, e quindi con due punti del set di partenza);
- il fascio scelto non è parallelo a nessun lato della poligonale (allora la retta che sceglieremo inciderà esattamente in un punto.

[Thomas16]

ok. Penso cmq che la dimostrazione risulti (per me) più chiara:

1) scrivendo una definizione matematicamente più sensata di quella che ho dato io a parole del "calibro" (per esempio fissando un asse $x$, scegliendo il semipiano in cui stanno i punti e definendo la posizione della retta come sup di un insieme);

2) riscrivendo la dimostrazione per un compatto generico, in modo da andare al cuore della dimostrazione;

Le idee cmq sono quelle che dici tu, ovvero supporre per assurdo che dei punti non stiano sul bordo e disegnare delle palle...


Thomas