Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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ciao a tutti ho un problemino con iseguenti esercizi:
Sia $B$ la forma bilineare su $K^3$ definita $B(X; Y ) =\ ^tXAY$ con
$A=((0, 1, 0),(1, 0, 0),(0, 0, 1))$
e sia $W := <(1; 1; 0); (0; 0; 1)>$
(a) determinare $W^bot$
(b) dire se la restrizione di $B$ a $W$ è degenere, e in caso affermativo
calcolarne il radicale.
(c) stesse domande con $W := <(1, 0, 0); (0, 0, 1)>$
(d) esiste una base di $K^3$ che consiste di vettori isotropi?
come si calcola ...
Salve a tutti!
Un esercizio mi chiede di dimostrare che $ x^2-2xy+y^2+10x+2y+7=0 $ è una parabola e di trovare il vertice e l'asse.
Non ho avuto difficoltà a dimostrare che è una parabola. Poi ho trovato gli autovalori e i rispettivi autovettori di $ A-lambdaI=( ( 1-lambda , -1 ),( -1 , 1-lambda ) ) $ : $ lambda_1=0 $ , $ lambda_2=2 $ $ mlambda_1=mlambda_2=1 $ . Gli autovettori sono $ Vlambda_1=(1/(sqrt2) , 1/(sqrt2)) $ e $ Vlambda_2=(-1/(sqrt2) , 1/(sqrt2)) $ .
Quindi ho potuto trovare $ X=PX' =>$ $ ( ( x ),( y ) )=( ( 1/(sqrt2) , 1/(sqrt2) ),( 1/(sqrt2) , -1/(sqrt2) ) )( ( x' ),( y' ) ) $ .
Sostituendo a $ ((x, y))A( ( x ),( y ) ) + ( ( 10 , 2 ) )( (x),(y))+7=0 $ ottengo:
...
Ciao ho un problema nel risolvere questo tipo di esercizi...
Mi chiede di determinare l'equazione della retta r passante per il punto Q=(1,-2,-1) e parallela alla retta s di equazioni :$\{(x = 1+2h),(y =-h),(z = 2+3h):}$ ??????
Avevo pensato di trovarmi i numeri direttori (l,m,n) per avere il vettore generico...poi impostare una matrice e calcolarmi il determinante...!
Xò ora nn so come calcolarmi questi numeri direttori...e nn so nemmeno se il mio ragionamento è esatto! grazie
Mi date una mano per questo esercizio? Non so dove mettere le mani.
Sia $T : R^3 -> R^3 $ tale che $ T^3 = 0 , T^2 != 0 $
Dimostrare che:
$Ker(T) sub Ker(T^2) sub Ker(T^3) = R^3 $
$ Ker(T)!= Ker(T^2) $ e $ Ker(T^2)!= Ker(T^3) $
$T$ non è diagonalizzabile
Ho iniziato il mio ragionamento così : $dim R^3 = dim Ker(T^3) + dim (ImmT^3) $ quindi essendo $dim Imm(T^3)=0 ker (T^3) = R^3$ con queso passo quindi posso dire inoltre che $ker(T^2) sub ker(T^3)$ è verificata in quanto $T^2!=0$ e quindi $ dim Imm(T^2)>0 e Ker(T^2)sub R^3 $ e dimostrando anche la seconda ...
a. Si rappresenti la retta s passante per il punto $P=(1,0,1)$ ed ortogonale al piano $x+y=0$.
b. Si rappresenti una retta r passante per P e parallela al piano $x+y=0$
c. Esiste una affinità che muti r in s?
d. u può essere una traslazione?
e. u può essere un movimento?
ho svolto così, ma non sono sicuro:
a. La terna $(1,1,0)$ dei coefficienti delle incognite del piano è una terna di numeri direttori di ogni retta ortogonale al piano, allora una ...
Ciao a tutti!il mio problema è: sia S la superficie di $R^3$ definita da $X(u,v)=(u+u^2*v,(u^2/2)-2*u*v,(u^3/3)+v)$ stabilire se S è regolare.
Guardando la carta non riesco a classificare la superficie:non mi sembra di rivoluzione,non è controimmagine di valore regolare, non è grafico di una funzione...ho provato anche a fare un po' di "manovre" perché ho pensato magari che fosse mascherata, però non sono riuscito a ricavarne nulla...quindi sono passato alla definizione però anche lì non riesco a ...
Beh, forse il titolo non è dei migliori, ma vabbè... E probabilmente la questione è pure banale, ma non la riesco a "vedere".
Supponiamo di avere due matrici quadrate di dimensione [tex]$n$[/tex], diciamole [tex]$A=(a^{ij})$[/tex] e [tex]$B=(b_{ij})$[/tex], la prima definita positiva e la seconda semidefinita negativa, nel senso che: [tex]$\forall x,y\in \mathbb{R}^n$[/tex],
[tex]$\langle Ax, x \rangle =\sum_{i,j=1}^n a^{ij}\ x_i x_j >0$[/tex] e [tex]$\langle By ,y\rangle =\sum_{i,j=1}^n b_{ij}\ y^iy^j \leq 0$[/tex].
Posso dire che la somma ...
Ciao!
Avrei bisogno del vostro aiuto per svolgere questo esercizio:
Dire quali dei seguenti sottoinsiemi sono aperti con la topologia euclidea su $RR^2$ rispetto alla distanza euclidea:
$A= {(x_1, x_2) : x_1 = x_2}$
$B= {(x_1,x_2) : x_1 x_2!=0}$
$C={(x_1,x_2) : x_1 > 0}$
$D= {(x_1,x_2) : x_2 <=0}$
Prima domanda (imbarazzante): come ricavo gli aperti della topologia euclidea in $RR^2$? Non riesco a capire che forma potrebbero avere...
Poi, una volta ricavati quelli come procedo esattamente?
Io avevo ...
Dato che nessuno ha risposto, forse è passato inosservato. Ripropongo l'esercizio
Determinare una affinità che muti la retta r nella retta t.
dove
r:
x-y=0
z=1
e
t
y=1/3
Purtoppo ero assente a lezione e non ho alcun esempio di come si faccia questa tipologia di esercizi.
Avete idee?
Ciao a tutti, ho dei seri problemi a risolvere questo esercizio:
si dica se la forma quadratica su $RR^3$: $f(x,y,z)=5x^2-y^2+z^2+4xy+6xz$ è definita positiva, negativa ecc ecc., e la si riduca, con un cambiamento ortogonale di variabili, in forma canonica.
Fino a quando mi chiede di studiare il carattere della forma quadratica non ho particolari dubbi (mi costruisco la matrice associata $( ( 5 , 4 , 6 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) )$, di conseguenza la forma quadratica è indefinita)
Il problema arriva nella seconda parte ...
Ciao,
devo studiare un'applicazione lineare al variare del parametro h (quindi devo trovare delle basi dell'immagine e ker per ogni h) partendo da una matrice associata all'applicazione rispetto alle basi B B:
$ base B = (1, 0, 0) (1, 0, -1) (1, 1, 1) $
matrice associata rispetto alle basi BB:
$ ( ( h , -1 , 0 ),( -1 , h , 0 ),( 5-2h , 1 , 2 ) ) $
Quindi per prima cosa mi riduco la matrice:
$ ( ( 5-2h , 1 , 2 ), ( h , -1 , 0 ),( h^2-1 , 0 , 0 )) $
E scopro che per $ h != \pm1 $ la matrice ha rango 3.
Studio l'applicazione nel primo caso cioè $h = 1$ e la matrice ...
Ho risolto questo esercizio ma non sono sicuro se il procedimento da me eseguito è corretto.
L'esercizio è questo:
>
Per risolverlo ho applicato la formula:
$n=f'_x(x_0,y_0)i + f'_y(x_0,y_0)j - k$
che sarebbe quella del vettore normale a $z=f(x,y)$ nel punto $P$
Dalla formula ho ricavato il vettore $2i-k$
Poichè nel testo mi si chiede di trovare il ...
salve !potete aiutarmi a capire come trovare gli eventuali punti doppi e l'equazione delle rette che compongono la conica : x^2+2y^2-4xy+2x-4y+1=0 ?
grazie ..gentilmente passo passo
Ciao a tutti volevo sapere solamente se negli spazi topologici valeva la seguente relazione tra la chiusura di un insieme e il prodotto cartesiano:
$\overline{A} \quad \times \quad \overline{B} = \overline{ A \times B}$
Ciao a tutti e grazie
ciao ragazzi mi aiutate a risolvere quest'esercizio, è urgente!!! allora vi do la traccia:
preso un endomorfismo dello spazo vettoriale euclideo standard R^(4) che trasforma i vettori (1,1,0,0) e (1,0,1,1) rispettivamente in (0,1,-1,0) e (-1,0,-1,0), il cui nucleo coincide con il sottospazio generato dal vettore (0,0,0,1) e che ammette il vettore (1,0,-1,0) come autovettore di autovalore 1. Determinare la matrice assciata all'endmrfismo f nel riferimento naturale ...
Ho svolto questo esercizio, ma non so se è giusto.
Si definisca $L: R^3 -> R^2$ come $L(x,y,z) = (x+2y, x+2z)$. Se$ C = [e_1; e_2; e_3)$ è la base canonica di $R^3$ e $B = [f_1; f_2] = (1,1), (1,-1)$ è una diversa base di $R^2$ scrivere la matrice rappresentativa rispetto alle basi date.
Mio svolgimento:
$L(e_1) = (1;1) = f_1$
$L(e_2) = (2;0) = f_1 + f_2$
$L(e_3) = (0;2) = f_1 - f_2$
Pertanto la matrice rappresentativa A:
$[(1, 1, 1), (0, 1 ,-1)]$
E' corretto? Cosa ho sbagliato? Grazie mille!
Volevo risolvere questo dubbio:
se ho una matrice e voglio sapere se è possibile diagonalizzarla, devo applicare questa formula?
$dimV=n$
dove:
$dimV$ = numero autovalori
$n$ = grado della matrice
Ad es.: se in una matrice ho 3 autovalori e il grado è 3 (cioè la matrice è 3x3), allora $dimV=n=3$ è diagonalizzabile.
Non sono sicuro di ciò che dico, ,è un dubbio che mi arrovella da parecchi giorni e sono più che confuso
Grazie
buongiorno,
studiando in analisi l'integrazione di m-forme differenziali ho dovuto riprendere il concetto di forme multi lineari e in particolare delle forme m-lineari alternanti.
la domanda che volevo porvi è:
sia $ {:A:}_(m)^()(RR ^(N)) $ l'insieme delle forme m-lineari alternanti su $ RR ^(N) $ , $ {:A:}_(m)^()(RR ^(N)) $ è canonicamente dotato di una struttura di spazio vettoriale, e fin qui ok, ma qual'è una base per $ {:A:}_(m)^()(RR ^(N)) $ ?
grazie per l'attenzione.
Ho sviluppato questo esercizio ma ho un dubbio sul suo risultato:
>
Per prima cosa ho eliminato la terza equazione del sistema, in quanto il rango massimo che è possibile raggiungere sia nella matrice completa che incompleta è 3 (mentre le equazioni del sistema sono 4).
Dopodichè ho calcolato il rango della matrice completa $A$ e di quella incompleta $A^c$, ...
Salve ragazzi .Qualcuno mi puo' spiegare se c'è un procedimento standard nel determinare e scomporre il polinomio caratteristico di una matrice o come determinare questo senza effettuare troppe moltiplicazione (tra incognite e parametri) ma con un raccoglimento , che non mi porti ad usare ruffini ??
ad esempio trovo difficolta' nelle seguenti matrici con parametri :
1)
$((1,h,1),(h,0,1),(0,0,1))$
2)
$((1,0,1),(h,0,1),(0,1,0))$
3)
$((0,0,h),(0,1,0),(-h,0,1))$
grazie come sempre in anticipo e scusate il ...
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