Su certe somme di matrici semidefinite
Beh, forse il titolo non è dei migliori, ma vabbè... E probabilmente la questione è pure banale, ma non la riesco a "vedere".
Supponiamo di avere due matrici quadrate di dimensione [tex]$n$[/tex], diciamole [tex]$A=(a^{ij})$[/tex] e [tex]$B=(b_{ij})$[/tex], la prima definita positiva e la seconda semidefinita negativa, nel senso che: [tex]$\forall x,y\in \mathbb{R}^n$[/tex],
[tex]$\langle Ax, x \rangle =\sum_{i,j=1}^n a^{ij}\ x_i x_j >0$[/tex] e [tex]$\langle By ,y\rangle =\sum_{i,j=1}^n b_{ij}\ y^iy^j \leq 0$[/tex].
Posso dire che la somma [tex]$\sum_{i,j=1}^n a^{ij}\ b_{ij}$[/tex] è [tex]$\leq 0$[/tex]?
Supponiamo di avere due matrici quadrate di dimensione [tex]$n$[/tex], diciamole [tex]$A=(a^{ij})$[/tex] e [tex]$B=(b_{ij})$[/tex], la prima definita positiva e la seconda semidefinita negativa, nel senso che: [tex]$\forall x,y\in \mathbb{R}^n$[/tex],
[tex]$\langle Ax, x \rangle =\sum_{i,j=1}^n a^{ij}\ x_i x_j >0$[/tex] e [tex]$\langle By ,y\rangle =\sum_{i,j=1}^n b_{ij}\ y^iy^j \leq 0$[/tex].
Posso dire che la somma [tex]$\sum_{i,j=1}^n a^{ij}\ b_{ij}$[/tex] è [tex]$\leq 0$[/tex]?
Risposte
Data una matrice $M$ quadrata di ordine $n$ a coefficienti reali, indichiamo con $M_k$ il minore principale di testa di ordine $k$ di $M$, con $k=1,...,n$.
Allora vale la seguente caratterizzazione*
$M$ è definita positiva (risp. definita negativa) se e solo se $"det"M_k>0$ (risp. $(-1)^k"det"M_k>0$) per ogni $k=1,...,n$.
Detto questo, posto
$A=((1,3),(0,1))$ e $B=((-1,1),(0,-1))$
si ha che $A$ è definita positiva e $B$ è definita negativa (e quindi semidefinita negativa)**.
Ma purtroppo $\sum_{i,j}a_{ij}b_{ij}=-1+3+0-1=1$.
Quindi la risposta alla tua domanda dovrebbe essere negativa.
_________
Edit:
* La caratterizzazione vale certamente nell'ulteriore ipotesi che $M$ sia simmetrica.
** Non si può fare questa conclusione perchè $A$ e $B$ non sono simmetriche. E infatti, come mostrato da Gugo nel post successivo, $A$ non è definita positiva.
Allora vale la seguente caratterizzazione*
$M$ è definita positiva (risp. definita negativa) se e solo se $"det"M_k>0$ (risp. $(-1)^k"det"M_k>0$) per ogni $k=1,...,n$.
Detto questo, posto
$A=((1,3),(0,1))$ e $B=((-1,1),(0,-1))$
si ha che $A$ è definita positiva e $B$ è definita negativa (e quindi semidefinita negativa)**.
Ma purtroppo $\sum_{i,j}a_{ij}b_{ij}=-1+3+0-1=1$.
Quindi la risposta alla tua domanda dovrebbe essere negativa.
_________
Edit:
* La caratterizzazione vale certamente nell'ulteriore ipotesi che $M$ sia simmetrica.
** Non si può fare questa conclusione perchè $A$ e $B$ non sono simmetriche. E infatti, come mostrato da Gugo nel post successivo, $A$ non è definita positiva.
Scusa cirasa, ma [tex]$A$[/tex] non me la trovo definita positiva... 
Infatti la forma quadratica associata ad [tex]$A$[/tex] è:
[tex]$\langle Ax,x\rangle = \begin{pmatrix} x_1 &x_2 \end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_1 &3x_1+x_2 \end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =x_1^2+3x_1x_2+x_2^2 =(x_1+\tfrac{3}{2} \ x_2)^2-\tfrac{5}{4}\ x_2^2$[/tex]
e si vede ad occhio che essa assume valori sia positivi che negativi in [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] (ad esempio è positiva sulla retta d'equazione [tex]$x_2=0$[/tex] e negativa sulla retta d'equazione [tex]$x_1+\tfrac{3}{2}\ x_2=0$[/tex]).
Probabilmente però sono io che mi perdo in un bicchier d'acqua.
Infatti la forma quadratica associata ad [tex]$A$[/tex] è:
[tex]$\langle Ax,x\rangle = \begin{pmatrix} x_1 &x_2 \end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_1 &3x_1+x_2 \end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =x_1^2+3x_1x_2+x_2^2 =(x_1+\tfrac{3}{2} \ x_2)^2-\tfrac{5}{4}\ x_2^2$[/tex]
e si vede ad occhio che essa assume valori sia positivi che negativi in [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex] (ad esempio è positiva sulla retta d'equazione [tex]$x_2=0$[/tex] e negativa sulla retta d'equazione [tex]$x_1+\tfrac{3}{2}\ x_2=0$[/tex]).
Probabilmente però sono io che mi perdo in un bicchier d'acqua.
Ok, questa volta l'ho sparata grossa. Scusami. 
Lasciamo perdere la caratterizzazione precedente.
Avevo sbagliato. Dovrebbe valere solo se $M$ è simmetrica ed evidentemente $A$ e $B$ non lo erano.
Sta sempre di più prendendo corpo in me la convinzione che la proprietà in questione sia vera.
Però, dopo qualche tentativo andato a vuoto, non riesco a trovare una dimostrazione.
Scusami di nuovo se ti ho detto una cavolata.
Se mi viene in mente qualcosa, ti faccio sapere.
Lasciamo perdere la caratterizzazione precedente.
Avevo sbagliato. Dovrebbe valere solo se $M$ è simmetrica ed evidentemente $A$ e $B$ non lo erano.
Sta sempre di più prendendo corpo in me la convinzione che la proprietà in questione sia vera.
Però, dopo qualche tentativo andato a vuoto, non riesco a trovare una dimostrazione.
Scusami di nuovo se ti ho detto una cavolata.
Se mi viene in mente qualcosa, ti faccio sapere.
In realtà, io sono pressoché sicuro che quello che ho scritto sia vero, perchè l'ho letto sulla bibbia (i.e. Gilbarg&Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order).*
Tuttavia non riesco a farmi un'idea di come si possa dimostrare... Sarà che quando vedo un paio di matrici mi viene la nausea.
__________
* Si stava dimostrando il principio di massimo per le equazioni ellittiche; serviva trovare [tex]$\sum_{i,j} a^{ij}\ \text{D}_{i,j}^2 u(x_0) \leq 0$[/tex] avendo [tex]$A$[/tex] definita positiva e l'hessiana [tex]$\text{D}^2u(x_0)$[/tex] semidefinita negativa.
Tuttavia non riesco a farmi un'idea di come si possa dimostrare... Sarà che quando vedo un paio di matrici mi viene la nausea.
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* Si stava dimostrando il principio di massimo per le equazioni ellittiche; serviva trovare [tex]$\sum_{i,j} a^{ij}\ \text{D}_{i,j}^2 u(x_0) \leq 0$[/tex] avendo [tex]$A$[/tex] definita positiva e l'hessiana [tex]$\text{D}^2u(x_0)$[/tex] semidefinita negativa.
EDIT: avevo scritto una cosa palesemente falsa, l'ho cancellata (vedere il post di cirasa)
Scusami alvinlee88, non capisco perchè gli addendi di [tex]$\sum_{i,j=1}^n [/tex] sono [tex]\leq 0[/tex].
[tex]A[/tex] è definita positiva, ma non per questo ha gli elementi tutti [tex]\geq 0[/tex].
Allo stesso modo [tex]B[/tex] è semidefinita negativa, ma non per questo ha gli elementi tutti [tex]\leq 0[/tex].
Mi sono perso qualche passaggio?
[tex]A[/tex] è definita positiva, ma non per questo ha gli elementi tutti [tex]\geq 0[/tex].
Allo stesso modo [tex]B[/tex] è semidefinita negativa, ma non per questo ha gli elementi tutti [tex]\leq 0[/tex].
Mi sono perso qualche passaggio?
Ovviamente avete ragione, ho scritto una cosa oscena, ma dovrei essere (parzialmente) scusato dall'ora tarda. Provvedo subito a cancellare...
Faccio un tentativo un pochino piu' ragionato (e soprattutto a un'ora accettabile):
Assumo che le due matrici siano simmetriche (di solito si parla di definitezza solo per matrici simmetriche)
Per il teorema spettrale esiste una matrice ortogonale [tex]Q[/tex] tale che [tex]Q^TAQ=D_1[/tex] è diagonale con entrate positive (poiche' [tex]A[/tex] e' definita positiva). Si ha che [tex]\sum_{i,j}a_{i,j}b^{i,j}=tr(AB)[/tex], e la traccia e' invariante per similitudine, vale a dire [tex]tr(M)=tr(S^{-1}MS)[/tex] per ogni matrice [tex]S[/tex] invertibile.
Dunque, essendo [tex]AB=(QQ^T)A(QQ^T)B(QQ^T)[/tex], e [tex]Q[/tex] invertibile con inversa [tex]Q^T[/tex], si ha [tex]tr(AB)=tr(Q^TAQQ^TBQ)=tr(D_1Q^TBQ)[/tex][tex]=\sum_{i=1,\dots, n}d_i(Q^TBQ)_{i,i}=\sum_{i=1,\dots, n}d_i((Q^i)^TBQ^i)[/tex] (dove con [tex]Q^i[/tex] indico la [tex]i[/tex]-esima colonna di [tex]Q[/tex]]) [tex]=\sum_{i=1,\dots, n}d_i[/tex].
Essendo [tex]d_i>0[/tex] e [tex]\le0[/tex] per ogni [tex]i[/tex], grazie alle ipotesi fatte sulle matrici, ogni addendo e' minore o uguale di zero e quindi anche la somma lo e'.
Questa dovrebe andare (o perlomeno non ci dovrebbero essere boiate come nella precedente).
bona
Assumo che le due matrici siano simmetriche (di solito si parla di definitezza solo per matrici simmetriche)
Per il teorema spettrale esiste una matrice ortogonale [tex]Q[/tex] tale che [tex]Q^TAQ=D_1[/tex] è diagonale con entrate positive (poiche' [tex]A[/tex] e' definita positiva). Si ha che [tex]\sum_{i,j}a_{i,j}b^{i,j}=tr(AB)[/tex], e la traccia e' invariante per similitudine, vale a dire [tex]tr(M)=tr(S^{-1}MS)[/tex] per ogni matrice [tex]S[/tex] invertibile.
Dunque, essendo [tex]AB=(QQ^T)A(QQ^T)B(QQ^T)[/tex], e [tex]Q[/tex] invertibile con inversa [tex]Q^T[/tex], si ha [tex]tr(AB)=tr(Q^TAQQ^TBQ)=tr(D_1Q^TBQ)[/tex][tex]=\sum_{i=1,\dots, n}d_i(Q^TBQ)_{i,i}=\sum_{i=1,\dots, n}d_i((Q^i)^TBQ^i)[/tex] (dove con [tex]Q^i[/tex] indico la [tex]i[/tex]-esima colonna di [tex]Q[/tex]]) [tex]=\sum_{i=1,\dots, n}d_i
Essendo [tex]d_i>0[/tex] e [tex]
Questa dovrebe andare (o perlomeno non ci dovrebbero essere boiate come nella precedente).
bona
Questa dimostrazione, secondo me, va bene.
All'inizio avevo provato una strada simile, ma poi mi ero arenato perchè non riuscivo a sistemare la matrice $Q$ con $B$.
Alla prossima
All'inizio avevo provato una strada simile, ma poi mi ero arenato perchè non riuscivo a sistemare la matrice $Q$ con $B$.
Alla prossima
E sì, alvin, credo sia la strada giusta (anche se sul testo non è mai fatta esplicitamente l'ipotesi sulla simmetria della matrice dei coefficienti).
Grazie.
Grazie.
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