Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ho fatto oggi questo esercizio, ve lo posto con i miei ragionamenti, vorrei sapere se ci sono o meno errori.
le rette sono:
$r$:
${(x+y-1=0),(2x-z=0)}$
$s$:
$x=y=z$
devo dire se sono parallele o sghembe:
vedo i loro vettori direttori che sono:
$V_r(-1;1;-2)$
$V_s(1;1;1)$
sono sghembe.
Trovare la distanza di $r$ dall'origine.
Io l'ho pensato così:
prendo il vettore direttore di $r$ e trovo un piano ...
Salve a tutti mi aiutate a risolvere quest'esercizio? allora vi do la traccia:
Sia f l'endomorfismo dello spazio vettoriale euclideo standrd $RR^4$ rappresentato nel riferimento $R=((1,0,1,0); (0,0,1,0); (-1,1,0,1); (0,0,1,-1))$ dalla seguente matrice
$( ( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , -1 , 2 ),( 0 , 0 , 0 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , -2 ) )$
(1)Determinare gli autovalori e gli autospazi di f.
allora dunque gli autovalori che io ho trovato sono -2,1,-1,0 tutti e quattro con molteplicità algebrica uguale a quella algebrica quindi f è diagonalizzabile e l'autospazio (f,-2)=((1,-3,1,2)) ...
Negli appunti ho trovato un esercizio che ci aveva il professore durante il corso:
Dimostrare che:
$a*b=0$ con contemporaneamente $a!=0$ e $b!=0$
forse sono io che non sono in grado di dimostrarlo, potete suggerirmi qualche passaggio?
Grazie
Salve a tutti ho questo esercizio ma non so dove mettere le mani:
Dimostrare che gli insiemi ${X1+X2+X3-X4}$ e ${X1-2X2}$ sono sottospazi.
Ricavarne poi una base.
Come faccio a dimostrare che sono sottospazi?
Sono arrivato alle seguanti conclusioni:
In questi insiemi esiste il vettore nullo
Sono tutti di grado omogeneo
Non ci sono termini noti.
Quindi la mia conclusione è che sono sottospazi.
Siccome questaconclusioni sono un po a "occhio" qualcuno mi sa dare una ...
Ho avuto una perplessità riguardante il seguente esercizio, mi affido a qualche mente più sopraffina della mia .
Al variare del parametro reale $t$ sia $f_t: \mathbb{R}^3 \mapsto \mathbb{R}^3 $ l’applicazione lineare definita da:
$f_t ((x_1),(x_2),(x_3)) = ((x_1 - 2x_2 - tx_3),(tx_1-x_3), (-tx_1+3x_2+x_3)) $
1. Al variare di $t in RR$, si determinino $dim(Ker(f_t))$ e $dim(Im(f_t))$
2. Al variare di $t,s in RR$, si determini la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema
$f_t ((x_1), (x_2), (x_3)) = ((0),(-2),(s))$
3. Si determinino, se ...
Salve mi sfugge un particolare ,che però è il più importante del seguente teorema:
Se $A :X->X$ è un operatore autoaggiunto con $X$ spazio vettoriale complesso euclideo allora ogni suo autovalore è reale.
Sia $q$ un autovalore e $v$ l'autovettore corrispondente, allora:
$q*|v|^2 = (qv)v= A(v)v=vA(v)=v(qv)=q' |v|^2 $
con q' intendo che sia reale,ma non capisco da dove giunge fuori questa cosa.
Grazie per le risposte
Buonasera a tutti! Volevo chiedere una cosa...
Come si fa a determinare un'applicazione lineare sapendo da quali vettori è generato il nucleo?
Cioè se per esempio devo determinare un'applicazione lineare $f: R^4 -> R^3$ il cui nucleo è generato da $(1, 2, 3, 4)$ e $(0, 1, 1, 1)$, come devo procedere?
Ricontrollando gli appunti di geometria classica, mi sono imbattuto nell'esercizio:
trovare la circonferenza passante per tre punti $A$ $B$ e $C$
dato che una circonferenza è l'intersezione tra piano e sfera per quei punti, voglio vedere la sfera come si trova
Dopo laboriosi passaggi, mi trovo il centro $C'(x_0;y_0;z_0)$
l'equazione della sfera è:
$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$
scritta anche come:
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$
ora io so ...
Ho questo vettore, che è uscito da un calcolo di distanza tra due rette sghembe:
$d(P,r)=(3/7;-17/14;8/7)=(sqrt(581))/14$
come è fatto a venire $(sqrt(581))/14$?
A= $ ( ( 1 , 2 , -3 ),( 2 , 0 , k ),( 1 , 2 , -3 ) ) $ B= $ ( ( 1 ),( k-1 ),( k ) ) $
1) per quali valori del parametro reale k la matrice A è invertibile?
2) risolvere il sistema Ax=b al variare del parametro reale k
3) disegnare il grafico della funzione g(k)=rango A
alla prima domanda ho risposto che la matrice non è invertibile perchè il determinante è uguale a zero.
alle altre 2 domande però non ho saputo rispondere mi aiutate a capire che devo fare?
grazie mille
Ragazzi stavo cercando di risolvere qualche sistema parametrico, ne ho trovati alcuni svolti, prendiamo in considerazione questo per esempio:
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... o_es_2.pdf
La prima parte mi è chiara, cioè si va a calcolare il determinante della matrice incompleta, se questo è diverso da zero, il suo rango corrisponde a quello della matrcice completa, vado ad applicare Cramer per determinare la soluzione unica e ci siamo.
Poi però, la mia incertezza deriva sicuramente da una incomprensione ...
Sempre con i dati trovati nell'altro post, ovvero.
retta $r$
${ (x=3+3alpha) , (y=1+alpha) , (z=0) :}$
retta $s$
${ (x=2) , (y=1) :}$
devo dire se sono sghembe.
il vettore direttore della prima si trova:
$(1,3,0);(0,0,1)$
vedendo il determinante, cioè togliendo la prima colonna e vedendo il determinante delle altre due.
$V_r(-3,-1,0)$
il vettore direttore della seconda è:
$V_s(-1,-1,0)$
sono diverse cioè $V_r$ intersecato a $V_s$ mi da ...
buongiorno a tutti, ringrazio chiunque abbia la pazienza di rispondere.
dato un endomorfismo f di $R^3$ in x,y,z del tipo:
f(x,y,z)=($x+y-2z$ , $3x-y+z$ , $2x-2y+3z$)
se viene richiesto di determinarne la matrice rappresentativa rispetto una nuova base(nello specifico l'esercizio riportava la base u(1,7,4) v(1,2,1) w(0,1,0)
come si deve procedere?
chiedo scusa per la banalità della domanda, magari a molte simili è già stata data risposta, ma non ...
Ciao...
Come posso determinare l'insieme libero nel sistema di vettori v'=(3,1,2,-1) v''=(-1,8,-4,2) v'''= (1,9,-6,3) ??? non saprei dove mettere mano!!! devo considerare questi vettori come una base?
grazie
Ciao a tutti, averi bisogno di un aiuto su un esercizio di cui non riesco a venire a capo
Si scriva l'equazione del fascio $F$ di cilindri parabolici passanti per $A_(infty)(1,1,0,0)$ e per $Y_(infty)$ e tangenti in $O$ al piano $pi: x-y+z=0$
Si definisce cilindro parabolico una quadrica di rango $3$ la cui conica assoluta (all'infinito) è doppiamente degenere. Più concretamente dovrebbe essere la superficie ottenuta a partire da una ...
Buonasera a tutti.
Ho disperatamente bisogno di voi . Sarà che è maggio e fa caldo (troppo caldo!), sarà che sono stanco, sarà che gli esami si avvicinano, ma ho molta confusione in testa, specie su quest'ultima parte del corso di Geometria e Algebra lineare.
Procedo con ordine. Forme bilineari simmetriche (f.b.s.): ok, so qual è la definizione, so trovare la matrice associata ad essa rispetto ad una base dello spazio vettoriale in questione. E ho anche chiaro che cos'è una forma ...
ciao! sto studiando i fasci di piani e di rette, ma ho qualche dubbio.
Il libro di testo (Algebra lineare e geometria cartesiana di A. basile) afferma che dati i piani TT e TT', i piani di un fascio F sono tutti quelli che hanno come equazione cartesiana:
$v(ax+by+cz+d)+u(a'x+b'y+c'z+d')=0$
e fin qui ci sto.
Poi afferma che i piani di F distinti da TT sono quelli di equazione
$h(ax+by+cz+d)+(a'x+b'y+c'z+d')=0$ con $h=v/u$ con $u!=0$
e analogamente i piani distinti da TT' sono ...
Ciao. Mi potreste aiutare con questo esercizio?
Sia $ f: cc(R) ^3rarr cc(R) ^3 $ un'applicazione definita da:
$ f(x,y,z) = (kx+z,2y,x+kz) $ $ <k> in < RR > $
Determinare al variare di k la dimensione del nucleo e una sua base
Determinare al variare di k la dimensione dell'immagine e una sua base
Dire per quali valori di k ammette come autovettore (2,1,2) e fissato tale valore di k , dire se A è diagonalizzabile.
Vi ringrazio in anticipo.
Ciao a tutti.
Sto ricominciando d'accapo a studiare geometria.
E il primo esercizio che mi viene davanti è questo:
Dati: $A(0,0,0)$ $B(3,1,0)$ $C(2,1,0)$ $D(2,1,-1)$
a)Rappresentare la retta $r$ passante per $A$ e $B$
Io pongo $V$ il vettore differenza tra $B$ e $A$
$V(3,1,0)$
$P=(3,1,0)'+alpha(3,1,0)$
mentre solo $(3,1,0)'$ è il punto ...
Ciao, il testo di un compito che sto provando a svolgere dice:
Nello spazio vettoriale $RR^4$ sono assegnati i vettori $v1 = (0, -1, 0, 2)$ $v2 = (0, 1, 0, -1)$ $v3 = (1, 1, 1, -1)$
e i sottospazi $V = L(v1, v2, v3)$ e $W = {(x, y, z, t) in RR^4 : x+y-t = z-y-t = 0}$
Il primo questito che ho già risolto dice:
Studiare l'aplicazione lineare definita mediante le seguenti relazioni:
$f(v1) = (-h, -2, -h, 2)$
$f(v1) = (1, 2, 1, -1)$
$f(v1) = (h+1, 2, h+1, -1)$
dove h è un parametro reale.
Quello che non sto riuscendo a capire ...
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