Forme quadratiche e riduzione
Ciao a tutti, ho dei seri problemi a risolvere questo esercizio:
si dica se la forma quadratica su $RR^3$: $f(x,y,z)=5x^2-y^2+z^2+4xy+6xz$ è definita positiva, negativa ecc ecc., e la si riduca, con un cambiamento ortogonale di variabili, in forma canonica.
Fino a quando mi chiede di studiare il carattere della forma quadratica non ho particolari dubbi (mi costruisco la matrice associata $( ( 5 , 4 , 6 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) )$, di conseguenza la forma quadratica è indefinita)
Il problema arriva nella seconda parte quando mi si chiede di ridurla in forma canonica con un cambiamento ortogonale di variabili
, a mio dire perchè nè su internet, nè sul libro di testo sono riuscito a trovare un procedimento chiaro di quello che devo fare. In effetti non mi è proprio chiaro quello che devo fare!!! 
Spero nell'aiuto di qualche samaritano, grazie in anticipo.
si dica se la forma quadratica su $RR^3$: $f(x,y,z)=5x^2-y^2+z^2+4xy+6xz$ è definita positiva, negativa ecc ecc., e la si riduca, con un cambiamento ortogonale di variabili, in forma canonica.
Fino a quando mi chiede di studiare il carattere della forma quadratica non ho particolari dubbi (mi costruisco la matrice associata $( ( 5 , 4 , 6 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) )$, di conseguenza la forma quadratica è indefinita)
Il problema arriva nella seconda parte quando mi si chiede di ridurla in forma canonica con un cambiamento ortogonale di variabili
, a mio dire perchè nè su internet, nè sul libro di testo sono riuscito a trovare un procedimento chiaro di quello che devo fare. In effetti non mi è proprio chiaro quello che devo fare!!! Spero nell'aiuto di qualche samaritano, grazie in anticipo.
Risposte
Ciao. 
Come fai a concludere che è indefinita? Devi trovare gli autovalori e diagonalizzare la matrice...
Se ne sta parlando qui.
In ogni caso, tu prendi la matrice associata alla forma; la guardi e, con un colpo di bacchetta magica, fai finta che diventi la matrice associata ad un endomorfismo di $RR^3$.
Procedi come fai di solito per diagonalizzare la matrice associata all'endomorfismo; trovi gli autovalori e una base per ciascun autospazio. Alla fine, ortonormalizzi (con Gram-Schmidt) la base di ogni di autospazio che hai trovato e hai finito: la matrice diagonale è scritta rispetto a una base ortonormale di autovettori.
E' un po' più chiaro?
Prova a postare un po' dei tuoi conti, ne riparliamo...
"Legico":
Ciao a tutti, ho dei seri problemi a risolvere questo esercizio:
si dica se la forma quadratica su $RR^3$: $f(x,y,z)=5x^2-y^2+z^2+4xy+6xz$ è definita positiva, negativa ecc ecc., e la si riduca, con un cambiamento ortogonale di variabili, in forma canonica.
Fino a quando mi chiede di studiare il carattere della forma quadratica non ho particolari dubbi (mi costruisco la matrice associata $( ( 5 , 4 , 6 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) )$, di conseguenza la forma quadratica è indefinita)
Come fai a concludere che è indefinita? Devi trovare gli autovalori e diagonalizzare la matrice...
Il problema arriva nella seconda parte quando mi si chiede di ridurla in forma canonica con un cambiamento ortogonale di variabili
Spero nell'aiuto di qualche samaritano, grazie in anticipo.
Se ne sta parlando qui.
In ogni caso, tu prendi la matrice associata alla forma; la guardi e, con un colpo di bacchetta magica, fai finta che diventi la matrice associata ad un endomorfismo di $RR^3$.
Procedi come fai di solito per diagonalizzare la matrice associata all'endomorfismo; trovi gli autovalori e una base per ciascun autospazio. Alla fine, ortonormalizzi (con Gram-Schmidt) la base di ogni di autospazio che hai trovato e hai finito: la matrice diagonale è scritta rispetto a una base ortonormale di autovettori.
E' un po' più chiaro?
Prova a postare un po' dei tuoi conti, ne riparliamo...
"Paolo90":
Come fai a concludere che è indefinita? Devi trovare gli autovalori e diagonalizzare la matrice...
Se non ricordo male deve essere una proprietà degli autovalori con matrici particolari:
"Gli autovalori di matrici diagonali, triangolari superiori e inferiori sono gli elementi sulla diagonale principale."
E questa matrice è triangolare superiore.
Prima di andare avanti, Fin qui siamo d'accordo?
"Legico":
[quote="Paolo90"]
Come fai a concludere che è indefinita? Devi trovare gli autovalori e diagonalizzare la matrice...
Se non ricordo male deve essere una proprietà degli autovalori con matrici particolari:
"Gli autovalori di matrici diagonali, triangolari superiori e inferiori sono gli elementi sulla diagonale principale."
E questa matrice è triangolare superiore.
Prima di andare avanti, Fin qui siamo d'accordo?[/quote]
Hai ragione, è vero. Segue dal fatto che il determinante di una matrice in forma triangolare è il prodotto degli elementi della diagonale principale. Scusami, non ci pensavo più.
Ottima osservazione.
No problem, era per capire se in tutto questo tempo mi sono affidato al caso o a proposizioni vere... 
Ad ogni modo gli autovalori che risultano sono: 5, -1, 1
Risolvo il sistema $AX=lambdaX$ dove $A$ è la matrice relativa, $X$ è la colonna $( ( x ),( y ),( z ) )$ e $lambda$ è il rispettivo autovalore, e mi trovo gli autospazi
$V_5=<(x,0,0)> = <(1, 0, 0)>$
$V_1=<(-3/2z, 0, z)> = <(-3/2, 0, 1)>$
$V_-1=<(-2/3y, y, 0)> = <(-2/3, 1, 0)>$
Se ho capito bene quello che hai scritto prima ora basta applicare Gram-Schmidt su questi vettori e ho "ridotto, con un cambiamento ortogonale di variabili, la forma quadratica a scala"??
Ad ogni modo gli autovalori che risultano sono: 5, -1, 1
Risolvo il sistema $AX=lambdaX$ dove $A$ è la matrice relativa, $X$ è la colonna $( ( x ),( y ),( z ) )$ e $lambda$ è il rispettivo autovalore, e mi trovo gli autospazi
$V_5=<(x,0,0)> = <(1, 0, 0)>$
$V_1=<(-3/2z, 0, z)> = <(-3/2, 0, 1)>$
$V_-1=<(-2/3y, y, 0)> = <(-2/3, 1, 0)>$
Se ho capito bene quello che hai scritto prima ora basta applicare Gram-Schmidt su questi vettori e ho "ridotto, con un cambiamento ortogonale di variabili, la forma quadratica a scala"??
Sì, se ho capito ciò che intendi.
In pratica, il punto è: tu sei riuscito a scrivere la matrice in forma diagonale (sulla diagonale hai gli autovalori, altrove tutti zero). Bene, questa matrice rappresenta la forma rispetto a quale base? Rispetto a una base ortonormale di autovettori.
Siccome gli autospazi sono ortogonali tra loro (perchè l'endomorfismo che hai diagonalizzato è autoaggiunto, essendo la sua matrice associata -rispetto a una base ortonormale- simmetrica) ti basta solo più applicare GS all'interno di ogni autospazio.
E qui è ancora più semplice, basta normalizzare, giacchè gli autospazi hanno dimensione 1.
Ok?
In pratica, il punto è: tu sei riuscito a scrivere la matrice in forma diagonale (sulla diagonale hai gli autovalori, altrove tutti zero). Bene, questa matrice rappresenta la forma rispetto a quale base? Rispetto a una base ortonormale di autovettori.
Siccome gli autospazi sono ortogonali tra loro (perchè l'endomorfismo che hai diagonalizzato è autoaggiunto, essendo la sua matrice associata -rispetto a una base ortonormale- simmetrica) ti basta solo più applicare GS all'interno di ogni autospazio.
E qui è ancora più semplice, basta normalizzare, giacchè gli autospazi hanno dimensione 1.
Ok?
Si si, pensavo più complesso all'inizio.
Faccio notare comunque che viene lo stesso anche applicando GS sulle basi degli autospazi che ho scritto nel post sopra (cioè se magari uno non prende gli autospazi della matrice diagonale, che sono già ortogonali tra loro ecc ecc., ma continua a lavorare con quelli che si era trovato dai calcoli). Ed inoltre è una utile verifica.
Ho solo una domanda, se io prendo gli autospazi della matrice in forma diagonale, poi è ovvio che la forma quadratica ridotta verrà a scala (come richiesto esplicitamente dall'esercizio); è un caso particolare, oppure ogni volta che mi si chiede una riduzione con cambiamento di variabili ortogonali, mi devo aspettare una forma quadratica a scala??
Faccio notare comunque che viene lo stesso anche applicando GS sulle basi degli autospazi che ho scritto nel post sopra (cioè se magari uno non prende gli autospazi della matrice diagonale, che sono già ortogonali tra loro ecc ecc., ma continua a lavorare con quelli che si era trovato dai calcoli). Ed inoltre è una utile verifica.
Ho solo una domanda, se io prendo gli autospazi della matrice in forma diagonale, poi è ovvio che la forma quadratica ridotta verrà a scala (come richiesto esplicitamente dall'esercizio); è un caso particolare, oppure ogni volta che mi si chiede una riduzione con cambiamento di variabili ortogonali, mi devo aspettare una forma quadratica a scala??
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