Esercizio su Apllicazioni lineari
Mi date una mano per questo esercizio? Non so dove mettere le mani.
Sia $T : R^3 -> R^3 $ tale che $ T^3 = 0 , T^2 != 0 $
Dimostrare che:
$Ker(T) sub Ker(T^2) sub Ker(T^3) = R^3 $
$ Ker(T)!= Ker(T^2) $ e $ Ker(T^2)!= Ker(T^3) $
$T$ non è diagonalizzabile
Ho iniziato il mio ragionamento così : $dim R^3 = dim Ker(T^3) + dim (ImmT^3) $ quindi essendo $dim Imm(T^3)=0 ker (T^3) = R^3$ con queso passo quindi posso dire inoltre che $ker(T^2) sub ker(T^3)$ è verificata in quanto $T^2!=0$ e quindi $ dim Imm(T^2)>0 e Ker(T^2)sub R^3 $ e dimostrando anche la seconda parte del secondo quesito $ Ker(T^2)!= Ker(T^3)$
Per il resto non so come fare.
Sia $T : R^3 -> R^3 $ tale che $ T^3 = 0 , T^2 != 0 $
Dimostrare che:
$Ker(T) sub Ker(T^2) sub Ker(T^3) = R^3 $
$ Ker(T)!= Ker(T^2) $ e $ Ker(T^2)!= Ker(T^3) $
$T$ non è diagonalizzabile
Ho iniziato il mio ragionamento così : $dim R^3 = dim Ker(T^3) + dim (ImmT^3) $ quindi essendo $dim Imm(T^3)=0 ker (T^3) = R^3$ con queso passo quindi posso dire inoltre che $ker(T^2) sub ker(T^3)$ è verificata in quanto $T^2!=0$ e quindi $ dim Imm(T^2)>0 e Ker(T^2)sub R^3 $ e dimostrando anche la seconda parte del secondo quesito $ Ker(T^2)!= Ker(T^3)$
Per il resto non so come fare.
Risposte
[mod="Martino"]Attenzione la prossima volta, questo argomento va nella sezione "geometria e algebra lineare". Sposto.[/mod]
"AndreaT1989":
Dimostrare che:
$Ker(T) sub Ker(T^2) sub Ker(T^3) ...$
Questa catena di inclusioni è vera per ogni applicazione lineare $T$.
Per dimostrarlo, prendi un elemento di $ker(T)$ e dimostra che esso è anche in $ker(T^2)$. E' facile, ti basta solo la definizione di $ker$.
Analogamente l'altra inclusione.
"AndreaT1989":
Dimostrare che:
...
$ Ker(T)!= Ker(T^2) $
Usa il fatto che $T^2!=0$.
Quindi esiste $x\in RR^3$ tale che $T^2(x)!=0$.
Prova che $y=T(x)$ è un elemento di $ker(T^2)$, ma $y!in ker(T)$.
"AndreaT1989":
Dimostrare che:
...
$T$ non è diagonalizzabile
Cerca di capire come sono fatti gli autovalori di $T$. Poi prova per assurdo.
Per dimostrare
$Ker(T) sub Ker(T^2) sub Ker(T^3) ...$
avevo gia pensato di usare la definizione ma non capisco bene in che modo, o meglio, preso v un elemento di $ker(T)$ mi basta dire che appartiene anche s $ker(T^2) $ in quanto l'insieme delle soluzioni di $T^2 (y)=0$ contiene l'insieme delle soluzione di $T(x)=0$ e cosi anche per $T^3$ ?
Per $ Ker(T)!= Ker(T^2) $ non ho proprio capito come procedere, non sono abbastanza preparato ancora, o forse è il mio libro che ha qualche lacuna, dammi qualche altra dritta
. L'ultimo punto lo lascio alla fine, prima è meglio risolvere questo.
$Ker(T) sub Ker(T^2) sub Ker(T^3) ...$
avevo gia pensato di usare la definizione ma non capisco bene in che modo, o meglio, preso v un elemento di $ker(T)$ mi basta dire che appartiene anche s $ker(T^2) $ in quanto l'insieme delle soluzioni di $T^2 (y)=0$ contiene l'insieme delle soluzione di $T(x)=0$ e cosi anche per $T^3$ ?
Per $ Ker(T)!= Ker(T^2) $ non ho proprio capito come procedere, non sono abbastanza preparato ancora, o forse è il mio libro che ha qualche lacuna, dammi qualche altra dritta
. L'ultimo punto lo lascio alla fine, prima è meglio risolvere questo.
"AndreaT1989":
... preso v un elemento di $ker(T)$ mi basta dire che appartiene anche s $ker(T^2) $ in quanto l'insieme delle soluzioni di $T^2 (y)=0$ contiene l'insieme delle soluzione di $T(x)=0$ ...
Esatto. Scriviamolo meglio in "matematichese":
Sia $v\in ker(T)$. Per definizione, si ha che $T(x)=0$.
Segue che $T^2(x)=T(T(x))=T(0)=0$, ovvero $v\in ker(T^2)$.
Quindi $ker(T)\subset ker(T^2)$.
Analogamente $ker(T^2)\subset ker(T^3)$.
"AndreaT1989":
Per $ Ker(T)!= Ker(T^2) $ non ho proprio capito come procedere, non sono abbastanza preparato ancora, o forse è il mio libro che ha qualche lacuna, dammi qualche altra dritta
Per provare che $ Ker(T)!= Ker(T^2) $, devi provare che almeno un elemento di uno due insiemi non appartiene all'altro.
Quindi ti basta trovare un elemento di $ker(T^2)$ che non appartiene a $ker(T)$. E questo elemento è $y$, descritto nel mio post precedente.
Devi provare che $y\in ker(t^2)$, ma $y!in ker(T)$.
Ti assicuro che è facilissimo. Provaci, anche qui ti basta la definizione.
Ahh ho capito, almeno credo.
Basta dire che se $ T(T(x))=0 $ allora possiamo scrivere $T(x)=y$ quindi $x !in ker(T)$ ma $T(y)=0$ che corrisponde a $T^2(x)$ quindi $x in Ker(T^2)$ .
Per la diagonalizzazione, mi hai detto di ragionare sugli autovalori, bene io so che autovalori distiniti corrispondono ad autovettori linearmnete indipendenti e quindi ad una matrice diagonalizzabile. Ma come faccio a capire se gli autovalori di T sono o meno distinti ?
Basta dire che se $ T(T(x))=0 $ allora possiamo scrivere $T(x)=y$ quindi $x !in ker(T)$ ma $T(y)=0$ che corrisponde a $T^2(x)$ quindi $x in Ker(T^2)$ .
Per la diagonalizzazione, mi hai detto di ragionare sugli autovalori, bene io so che autovalori distiniti corrispondono ad autovettori linearmnete indipendenti e quindi ad una matrice diagonalizzabile. Ma come faccio a capire se gli autovalori di T sono o meno distinti ?
Sto ragionando cosi: visto che $T^3=0$ il suo autovalore sarà $0$ di molteciplità $3$ quindi gli autovalori di $T$ sono gli stessi di $T^3$ ed essendo non distinti non posso sapere a priori se è diagonalizzabile o meno. So però che la matrice nulla ha autovettori linearmente indipendenti corrispondenti alla base canonica di $R^3$ in questo caso. Quindi anche T avrà gli stessi autovettori di T^3 e quindi è diagonalizzabile.
Dimmi se ho sbagliato qualcosa. E soprattutto cosa intendevi tu per dimostrarlo per assurdo, sapere due dimostrazioni non fa mai male..
Dimmi se ho sbagliato qualcosa. E soprattutto cosa intendevi tu per dimostrarlo per assurdo, sapere due dimostrazioni non fa mai male..
"AndreaT1989":
Basta dire che se $ T(T(x))=0 $ allora possiamo scrivere $T(x)=y$ quindi $x !in ker(T)$ ma $T(y)=0$ che corrisponde a $T^2(x)$ quindi $x in Ker(T^2)$ .
Dovresti essere più chiaro. Più o meno si intuisce che sai di cosa stai parlando.
Secondo me, però, non si capisce molto bene la sequenza di argomentazioni.
Puoi spiegarle meglio?
"AndreaT1989":
[...] Quindi anche T avrà gli stessi autovettori di T^3 e quindi è diagonalizzabile.
Ma non dovevi provare che $T$ non è diagonalizzabile?
C'è qualcosa che non va. Anche qui, IMHO, le tue argomentazioni non sono molto chiare...
Allora, per il secondo punto, $T(T(x))=0$ si può scrivere come $T(y)=0$ dove $y=T(x)$ Da qui quindi supponendo che $y!=0$ si nota che $x!inKer(T)$ ma visto che $T(y)=T(T(x))=0$ allora $x in Ker(T^2)$ Va meglio cosi ?
Per il terzo punto infatti, non so bene come sia arrivato a dire che sia diagonalizzabile, ma data una matrice $A$ e un autovalore $x$ allora la matrice $A^i$ avrà autovalore $x^i$ cosi posso dire che essendo $T^3$ nulla ha autovalore $0$ molteciplità $3$ ed essendo nulla ha 3 autovettori distinti visto che det(A-xI)=0 corrisponde alla matrice con -x come elementi diagonali. Quindi supponendo che $T^3$ derivi da $T$ non posso dire che autovalori e autovettori di $T$ e $T^3$ sono gli stessi ?
Per il terzo punto infatti, non so bene come sia arrivato a dire che sia diagonalizzabile, ma data una matrice $A$ e un autovalore $x$ allora la matrice $A^i$ avrà autovalore $x^i$ cosi posso dire che essendo $T^3$ nulla ha autovalore $0$ molteciplità $3$ ed essendo nulla ha 3 autovettori distinti visto che det(A-xI)=0 corrisponde alla matrice con -x come elementi diagonali. Quindi supponendo che $T^3$ derivi da $T$ non posso dire che autovalori e autovettori di $T$ e $T^3$ sono gli stessi ?
Per il secondo punto, ti ricordo che dovevamo dimostrare che $Ker(T)!=ker(T^2)$.
Allora avevo preso $x\in RR^3$ tale che $T^2(x)!=0$ (esiste perchè $T^2!=0$) e ti avevo chiesto di provare che $y=T(x)$ è un elemento che sta in $ker(T^2)$ ma non in $ker(T)$.
Tu parti dicendo "$T(T(x))=0$ si può scrivere come $T(y)=0$ dove $y=T(x)$..."
Allora l'elemento $x$ che scegli non è lo stesso di cui parlavo io!
La tua dimostrazione non è molto chiara, perchè non si sa chi è $x$, nè perchè supponi che $y!=0$.
Ecco la dimostrazione: per quanto visto prima esiste $x\in RR^3$ tale che $T^2(x)!=0$.
Sia $y=T(x)$.
Si ha che
(*) $T^2(y)=T^2(T(x))=T^3(x)=0$
dove l'ultima uguaglianza è dovuta al fatto che $T^3=0$.
(*) ci dice che $y\in ker(T^2)$.
Inoltre, $y!in ker(T)$ perchè $T(y)=T(T(x))=T^2(x)!=0$.
Allora avevo preso $x\in RR^3$ tale che $T^2(x)!=0$ (esiste perchè $T^2!=0$) e ti avevo chiesto di provare che $y=T(x)$ è un elemento che sta in $ker(T^2)$ ma non in $ker(T)$.
Tu parti dicendo "$T(T(x))=0$ si può scrivere come $T(y)=0$ dove $y=T(x)$..."
Allora l'elemento $x$ che scegli non è lo stesso di cui parlavo io!
La tua dimostrazione non è molto chiara, perchè non si sa chi è $x$, nè perchè supponi che $y!=0$.
Ecco la dimostrazione: per quanto visto prima esiste $x\in RR^3$ tale che $T^2(x)!=0$.
Sia $y=T(x)$.
Si ha che
(*) $T^2(y)=T^2(T(x))=T^3(x)=0$
dove l'ultima uguaglianza è dovuta al fatto che $T^3=0$.
(*) ci dice che $y\in ker(T^2)$.
Inoltre, $y!in ker(T)$ perchè $T(y)=T(T(x))=T^2(x)!=0$.
Ahh ora ho capito, era facile, grazie mille.
Per quanto riguarda la diagonalizzazione invece cosa ne pensi del mio ragionamento ?
Per quanto riguarda la diagonalizzazione invece cosa ne pensi del mio ragionamento ?
"AndreaT1989":
... data una matrice $A$ e un autovalore $x$ allora la matrice $A^i$ avrà autovalore $x^i$ cosi posso dire che essendo $T^3$ nulla ha autovalore $0$ molteciplità $3$ ed essendo nulla ha 3 autovettori distinti visto che det(A-xI)=0 corrisponde alla matrice con -x come elementi diagonali. Quindi supponendo che $T^3$ derivi da $T$ non posso dire che autovalori e autovettori di $T$ e $T^3$ sono gli stessi ?
Giustamente dici che se $lambda$ è autovalore di $T$, allora $lambda^3$ è autovalore di $T^3$.
Ma l'unico autovalore di $T^3=0$ è l'autovalore nullo. Quindi $lambda^3=0$ da cui segue che $lambda=0$.
Con questo ragionamento hai provato che ogni autovalore di $T$ è nullo.
Purtroppo però non hai informazioni sugli autovettori.
Mi permetto di consigliarti di riprovare una dimostrazione per assurdo.
Inizio io. Se per assurdo $T$ fosse diagonalizzabile, indicata con $A$ la matrice associata a $T$ (rispetto alla base canonica), $A$ sarebbe simile ad una matrice diagonale. Come è fatta questa matrice diagonale?
La matrice diagonale avrebbe gli elementi diagonali corrispondenti agli autovalori, che in questo caso sarebbero tutti uguali a 0. Quindi mi basta questo per dire che non è diagonalizzabile giusto ? O devo fare altre osservazioni ?
Stiamo facendo una dimostrazione per assurdo.
Abbiamo visto che, se $T$ fosse diagonalizzabile, la sua matrice associata sarebbe simile ad una matrice diagonale con elementi tutti nulli sulla diagonale, cioè alla matrice......
Dov'è l'assurdo?
Abbiamo visto che, se $T$ fosse diagonalizzabile, la sua matrice associata sarebbe simile ad una matrice diagonale con elementi tutti nulli sulla diagonale, cioè alla matrice......
Dov'è l'assurdo?
La matrice in questione sarebbe la matrice NULLA, ma non ho capito bene, se la matrice NULLA è considerata diagonale oppure no. Nel caso l'assurdo sarebbe che la matrice nulla non è diagonale.
Oppure avevo anche pensato che essendo $T^2!=0$ allora non è possibile che derivi da una matrice $T$ con matrice diagonale NULLA. Quindi non è diagonalizzabile.
Oppure avevo anche pensato che essendo $T^2!=0$ allora non è possibile che derivi da una matrice $T$ con matrice diagonale NULLA. Quindi non è diagonalizzabile.
"AndreaT1989":
Oppure avevo anche pensato che essendo $T^2!=0$ allora non è possibile che derivi da una matrice $T$ con matrice diagonale NULLA. Quindi non è diagonalizzabile.
Questa qui va meglio. La matrice $A$ è simile alla matrice nulla. Quindi $A$ è la matrice nulla. Ma se $T$ ha matrice associata nulla, allora $T$ stessa è l'applicazione nulla. Ma $T$ non può essere nulla perchè $T^2!=0$.
Abbiamo ottenuto una contraddizione dovuta al fatto che abbiamo supposto $T$ diagonalizzabile.
Segue che $T$ non lo è.
Bene, ci sono arrivato finalmente grazie.
Avrei un altro esercizio che non riesco a completare, evito di creare una nuova discussione.
Sia $f : R^n -> R$ una funzione lineare non nulla e sia $ v0 != 0 $ un vettore fissato. Si consideri l’applicazione $T : R^n -> R^n $ così definita:
$T(v) = v + f(v)v0 $
1. Provare che $T $ è lineare.
2. Provare che $v0$ è autovettore e calcolarne l’autovalore $l0$.
3. Dimostrare che $1$ è autovalore di $T$ e calcolarne la dimensione.
4. Provare che $T$ è diagonalizzabile se e solo se $l0 != 1.$
Il primo punto è facile, basta applicare la definizione.
Per il secondo punto:
$T(v0)=v0+f(v0)*v0$ segue che $T(v0)=v0(f(v0)+1)$ ho espresso cioè l'applicazione lineare come uno scalare moltiplicato al vettore $v0$ che in questo caso è autovettore con $f(v0)+1$ come autovalore corrispondente.
Mi sono bloccato al terzo punto e poi non ho capito che si intente per dimensione. Intente la dimensione di T suppongo.
Avrei un altro esercizio che non riesco a completare, evito di creare una nuova discussione.
Sia $f : R^n -> R$ una funzione lineare non nulla e sia $ v0 != 0 $ un vettore fissato. Si consideri l’applicazione $T : R^n -> R^n $ così definita:
$T(v) = v + f(v)v0 $
1. Provare che $T $ è lineare.
2. Provare che $v0$ è autovettore e calcolarne l’autovalore $l0$.
3. Dimostrare che $1$ è autovalore di $T$ e calcolarne la dimensione.
4. Provare che $T$ è diagonalizzabile se e solo se $l0 != 1.$
Il primo punto è facile, basta applicare la definizione.
Per il secondo punto:
$T(v0)=v0+f(v0)*v0$ segue che $T(v0)=v0(f(v0)+1)$ ho espresso cioè l'applicazione lineare come uno scalare moltiplicato al vettore $v0$ che in questo caso è autovettore con $f(v0)+1$ come autovalore corrispondente.
Mi sono bloccato al terzo punto e poi non ho capito che si intente per dimensione. Intente la dimensione di T suppongo.
Il punto 2. è giusto.
Nel punto 3., credo che si intenda la dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore $1$.
Nel punto 3., credo che si intenda la dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore $1$.
Si ma come faccio a verificarlo ? Stavo ragionando dicendo che se $1$ è autovalore di 1 allora $T(v)=v$ quindi la trasformazione manda il vettore $v$ in se stesso, ma credo che stia sbagliando ragionamento.
La strada è giusta. Ora devi ricordare come è fatta l'applicazione $T$.
Si sto continuando infatti e penso di esserci riuscito:
$ T(v)=v+f(v)*v0$ deve essere anche $ v+f(v)*v0=v $ se l'autovalore fosse $1$ Ma questo è vero solo nel caso in cui $f(v)=0 $ perchè $ v0!=0$ per definizione. Quindi siccome $f()$ ha codominio uguale a $R$ allora ci sarà sicuramente un vettore $v$ tale che $f(v)=0$ e che quindi $T(v)=v$. La dimensione del sottospazio sarà la stessa dimensione del vettore $v$ quindi $R^n$
Per l'ultimo punto mi devi aiutare, sto supponendo che se $l0=1$ allora $ T(v0)=v0 $ Considerando $A$ come matrice associata all'applicazione lineare possiamo dire che $A$ deve essere multiplo della base canonica di $R^n$ . Per esempio la matrice identica di ordine $n$. Ma questo mio ragionamento mi porta a dire che è diagonalizzabile, evidentemente sbaglio qualcosa.
$ T(v)=v+f(v)*v0$ deve essere anche $ v+f(v)*v0=v $ se l'autovalore fosse $1$ Ma questo è vero solo nel caso in cui $f(v)=0 $ perchè $ v0!=0$ per definizione. Quindi siccome $f()$ ha codominio uguale a $R$ allora ci sarà sicuramente un vettore $v$ tale che $f(v)=0$ e che quindi $T(v)=v$. La dimensione del sottospazio sarà la stessa dimensione del vettore $v$ quindi $R^n$
Per l'ultimo punto mi devi aiutare, sto supponendo che se $l0=1$ allora $ T(v0)=v0 $ Considerando $A$ come matrice associata all'applicazione lineare possiamo dire che $A$ deve essere multiplo della base canonica di $R^n$ . Per esempio la matrice identica di ordine $n$. Ma questo mio ragionamento mi porta a dire che è diagonalizzabile, evidentemente sbaglio qualcosa.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo