Basi dell'Immagine e Kernel
Ciao,
devo studiare un'applicazione lineare al variare del parametro h (quindi devo trovare delle basi dell'immagine e ker per ogni h) partendo da una matrice associata all'applicazione rispetto alle basi B B:
$ base B = (1, 0, 0) (1, 0, -1) (1, 1, 1) $
matrice associata rispetto alle basi BB:
$ ( ( h , -1 , 0 ),( -1 , h , 0 ),( 5-2h , 1 , 2 ) ) $
Quindi per prima cosa mi riduco la matrice:
$ ( ( 5-2h , 1 , 2 ), ( h , -1 , 0 ),( h^2-1 , 0 , 0 )) $
E scopro che per $ h != \pm1 $ la matrice ha rango 3.
Studio l'applicazione nel primo caso cioè $h = 1$ e la matrice diventa:
$ ( ( 3 , 1 , 2 ), ( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 )) $
Due colonne che mi sembrano linearmente indipendenti sono la seconda e la terza,
quindi sostituendo 1 ad h nlla matrice di partenza (quella non ridotta), mi trovo le componenti dell'immagine rispetto alla base B:
componenti dell'immagine = $ (-1, 1, 1) (0, 0, 2)$ giusto?
quindi il mio dubbio è: adesso per trovarmi le basi dell'immagine devo semplicemente fare una combinazione lineare con B? cioè:
base dell'immagine 1 = $ -1*(1, 0, 0) +1*(1, 0, -1) +1*(1, 1, 1) = (1, 1, 0 )$
base dell'immagine 2 = $0*(1, 0, 0) +0*(1, 0, -1) +2*(1, 1, 1) = (2, 2, 2)$
A questo punto per il ker risolvo il sistema omogeneo:
$x - y = 0$
$3x + y + 2z = 0$
E mi trovo la soluzione generica: $(y, y, -2y)$ come trovo adesso le basi?
devo studiare un'applicazione lineare al variare del parametro h (quindi devo trovare delle basi dell'immagine e ker per ogni h) partendo da una matrice associata all'applicazione rispetto alle basi B B:
$ base B = (1, 0, 0) (1, 0, -1) (1, 1, 1) $
matrice associata rispetto alle basi BB:
$ ( ( h , -1 , 0 ),( -1 , h , 0 ),( 5-2h , 1 , 2 ) ) $
Quindi per prima cosa mi riduco la matrice:
$ ( ( 5-2h , 1 , 2 ), ( h , -1 , 0 ),( h^2-1 , 0 , 0 )) $
E scopro che per $ h != \pm1 $ la matrice ha rango 3.
Studio l'applicazione nel primo caso cioè $h = 1$ e la matrice diventa:
$ ( ( 3 , 1 , 2 ), ( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 )) $
Due colonne che mi sembrano linearmente indipendenti sono la seconda e la terza,
quindi sostituendo 1 ad h nlla matrice di partenza (quella non ridotta), mi trovo le componenti dell'immagine rispetto alla base B:
componenti dell'immagine = $ (-1, 1, 1) (0, 0, 2)$ giusto?
quindi il mio dubbio è: adesso per trovarmi le basi dell'immagine devo semplicemente fare una combinazione lineare con B? cioè:
base dell'immagine 1 = $ -1*(1, 0, 0) +1*(1, 0, -1) +1*(1, 1, 1) = (1, 1, 0 )$
base dell'immagine 2 = $0*(1, 0, 0) +0*(1, 0, -1) +2*(1, 1, 1) = (2, 2, 2)$
A questo punto per il ker risolvo il sistema omogeneo:
$x - y = 0$
$3x + y + 2z = 0$
E mi trovo la soluzione generica: $(y, y, -2y)$ come trovo adesso le basi?
Risposte
Forse sto sbagliando completamente il metodo?
Ciao!
Ok, quindi siamo in $RR^3$, stai considerando un endomorfismo di $RR^3$.
Non ho controllato i conti; comunque cosa vuol dire che ha rango 3 da un punto di vista geometrico? Che cosa puoi concludere?
Qui non capisco che cosa hai fatto. Le due colonne linearmente indipendenti che prendi non sono le componenti dell'immagine, ma una base dell'immagine. (che ha dimensione pari al rango, cioè 2). Quindi, una volta che hai preso le colonne hai finito.
Il nucleo ha dimensione $3 - 2 =1$ (2 è la dimensione dell'immagine: th. di nullità+rango) ed è generato (se i tuoi conti sono giusti) dal vettore $(1,1,-2)$.
Ricordati che adesso devi ancora trattare il caso $h=-1$.
Se hai ancora bisogno fai un fischio
"GiovanniP":
Ciao,
devo studiare un'applicazione lineare al variare del parametro h (quindi devo trovare delle basi dell'immagine e ker per ogni h) partendo da una matrice associata all'applicazione rispetto alle basi B B:
$ base B = (1, 0, 0) (1, 0, -1) (1, 1, 1) $
matrice associata rispetto alle basi BB:
$ ( ( h , -1 , 0 ),( -1 , h , 0 ),( 5-2h , 1 , 2 ) ) $
Ok, quindi siamo in $RR^3$, stai considerando un endomorfismo di $RR^3$.
Quindi per prima cosa mi riduco la matrice:
$ ( ( 5-2h , 1 , 2 ), ( h , -1 , 0 ),( h^2-1 , 0 , 0 )) $
E scopro che per $ h != \pm1 $ la matrice ha rango 3.
Non ho controllato i conti; comunque cosa vuol dire che ha rango 3 da un punto di vista geometrico? Che cosa puoi concludere?
Studio l'applicazione nel primo caso cioè $h = 1$ e la matrice diventa:
$ ( ( 3 , 1 , 2 ), ( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 )) $
Due colonne che mi sembrano linearmente indipendenti sono la seconda e la terza,
quindi sostituendo 1 ad h nlla matrice di partenza (quella non ridotta), mi trovo le componenti dell'immagine rispetto alla base B:
componenti dell'immagine = $ (-1, 1, 1) (0, 0, 2)$ giusto?
quindi il mio dubbio è: adesso per trovarmi le basi dell'immagine devo semplicemente fare una combinazione lineare con B? cioè:
base dell'immagine 1 = $ -1*(1, 0, 0) +1*(1, 0, -1) +1*(1, 1, 1) = (1, 1, 0 )$
base dell'immagine 2 = $0*(1, 0, 0) +0*(1, 0, -1) +2*(1, 1, 1) = (2, 2, 2)$
Qui non capisco che cosa hai fatto. Le due colonne linearmente indipendenti che prendi non sono le componenti dell'immagine, ma una base dell'immagine. (che ha dimensione pari al rango, cioè 2). Quindi, una volta che hai preso le colonne hai finito.
A questo punto per il ker risolvo il sistema omogeneo:
$x - y = 0$
$3x + y + 2z = 0$
E mi trovo la soluzione generica: $(y, y, -2y)$ come trovo adesso le basi?
Il nucleo ha dimensione $3 - 2 =1$ (2 è la dimensione dell'immagine: th. di nullità+rango) ed è generato (se i tuoi conti sono giusti) dal vettore $(1,1,-2)$.
Ricordati che adesso devi ancora trattare il caso $h=-1$.
Se hai ancora bisogno fai un fischio
"Paolo90":
Ciao!
Quindi per prima cosa mi riduco la matrice:
$ ( ( 5-2h , 1 , 2 ), ( h , -1 , 0 ),( h^2-1 , 0 , 0 )) $
E scopro che per $ h != \pm1 $ la matrice ha rango 3.
Non ho controllato i conti; comunque cosa vuol dire che ha rango 3 da un punto di vista geometrico? Che cosa puoi concludere?
mi serve solo per distingure i vari casi di h...
"Paolo90":
Studio l'applicazione nel primo caso cioè $h = 1$ e la matrice diventa:
$ ( ( 3 , 1 , 2 ), ( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 )) $
Due colonne che mi sembrano linearmente indipendenti sono la seconda e la terza,
quindi sostituendo 1 ad h nlla matrice di partenza (quella non ridotta), mi trovo le componenti dell'immagine rispetto alla base B:
componenti dell'immagine = $ (-1, 1, 1) (0, 0, 2)$ giusto?
quindi il mio dubbio è: adesso per trovarmi le basi dell'immagine devo semplicemente fare una combinazione lineare con B? cioè:
base dell'immagine 1 = $ -1*(1, 0, 0) +1*(1, 0, -1) +1*(1, 1, 1) = (1, 1, 0 )$
base dell'immagine 2 = $0*(1, 0, 0) +0*(1, 0, -1) +2*(1, 1, 1) = (2, 2, 2)$
Qui non capisco che cosa hai fatto. Le due colonne linearmente indipendenti che prendi non sono le componenti dell'immagine, ma una base dell'immagine. (che ha dimensione pari al rango, cioè 2). Quindi, una volta che hai preso le colonne hai finito.
Ho considerato le componenti perchè la matrice non è associata rispetto alle basi canoniche di R3 ma rispetto alla base B, sto sbagliando?
"GiovanniP":
[quote="Paolo90"]
Non ho controllato i conti; comunque cosa vuol dire che ha rango 3 da un punto di vista geometrico? Che cosa puoi concludere?
mi serve solo per distingure i vari casi di h...
[/quote]
Non ho capito cosa intendi; comunque, il fatto che ha rango 3 vuol dire che è un isomorfismo.
Ho considerato le componenti perchè la matrice non è associata rispetto alle basi canoniche di R3 ma rispetto alla base B, sto sbagliando?
Secondo me non è un problema: tu hai due vettori, scritti rispetto a una base di $RR^3$, che ti generano l'immagine che ha dimensione 2. Stop.
Se devi scrivere i vettori di una base dell'immagine rispetto alla base canonica allora bisogna cambiare base; ma l'esercizio, per come lo hai riportato tu, non mi pare lo chieda.
Secondo me non è un problema: tu hai due vettori, scritti rispetto a una base di , che ti generano l'immagine che ha dimensione 2. Stop.
Se devi scrivere i vettori di una base dell'immagine rispetto alla base canonica allora bisogna cambiare base; ma l'esercizio, per come lo hai riportato tu, non mi pare lo chieda.
Non lo so di solito lo faccio perchè nelle soluzioni di compiti simili ho trovato scritto: "una
base dell’immagine si ottiene prendendo i vettori che hanno come componenti rispetto
alla base B le prime due colonne della matrice data",
comunque con questo procedimento dovrei trovarmi i vettori di una base dell'immagine rispetto alla canonica giusto? :
"GiovanniP":
base dell'immagine 1 = $ -1*(1, 0, 0) +1*(1, 0, -1) +1*(1, 1, 1) = (1, 1, 0 )$
base dell'immagine 2 = $0*(1, 0, 0) +0*(1, 0, -1) +2*(1, 1, 1) = (2, 2, 2)$
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