Come trovare le equazioni cartesiane di un sottospazi affine

[cip2]

salve a tutti! Vi scrivo per chiedervi di aiutarmi a capire come risolvere questo esercizio sui sotto spazi affini:
Al variare di $ k in RR $ considerare in $ RR^3 $ il sottospazio affine

$ E= ( ( 1 ),( k ),( -1 ) ) $ + $ Span ( ( ( 12 ),( 6 ),( 13-6k ) ) $ , $ ( ( 3 ),( k ),( 1 ) ) ) $

A)Calcolare la dimensione di E al variare di k;
B)Esibire equazioni cartesiane di E al variare di k;

Per risolvere A) ho calcolato il determinante della matrice $ B=( ( 12 , 3 ),( 6 , k ),( 13-6k , 1 ) ) $ e posto uguale a zero, ricavando $ k=3/2 $ .
Quindi per $ k=3/2 $ , $ rank(B)=1 $ ed essendo un sottospazio espresso in forma parametrica la sua $ dim(E)=rank(B)=1 $ .
Per $ k!=3/2 $ ottengo $ dim(B)=2 $ .

Per risolvere B) non so davvero da dove iniziare, credevo dalla giacitura, ma niente da fare. Il risultato dovrebbe essere $ (3k-2)x-9y+6z+2(3k+4)=0 $ per $ k!=3/2 $ e $ x-3z=4, 2y-3z=6 $ per $ k=3/2 $ . Potreste darmi una mano?

[valerio cavolaccio]

poiché sei in $RR^3$ io ti consiglio di pensare a un piano se $k!=3/2$ e a una retta se $k=3/2$:
detto questo puoi trovare le eqauzioni cartesiane del sottospazio affine imponendo:
Caso 1: $k!=3/2$
imponi che un generico vettore sia linearmente dipendente con $(v_1,v_2)$ dove $v_1,v_2$ sono una base del sottospazio vettoriale associato al sottospazio affine $E$imponi inoltre il passaggio per il punto $P_o(1,-k,1)$
lo stesso vale per la retta facendo attenzione che la base del sottospazio vettoriale è composta solo dal vettore direttore $w(l,m,n)$ e che il punto è sempre lo stesso