Esercizio sulle superfici
Salve, mi trovo in difficoltà con questo esercizio,potreste darmi una mano??
Considerare il sottoinsieme di $R^3$ dato da $S = {f(x; y; z) in R^3 | z = x^2 -y^2}$
1. Mostrare che $S$ è una superficie regolare.
2. Mostrare che $x(u; v) = (u+v; u-v; 4uv)$ con $ (u; v) in R^2$ e $y(u; v) = (u cosh v; u sinh v; u2)$ con $(u; v) in R^2$ con $u !=0$ sono parametrizzazioni di $S$
3. Determinare quali sono le parti di $S$ ricoperte dagli intorni coordinati descritti.
4. Calcolare la prima forma fondamentale e la mappa di Gauss di $S$ in entrambe le parametrizzazioni.
5. Calcolare il differenziale della mappa di Gauss in entrambe le parametrizzazioni (ovvero calcolare la matrice associata al differenziale della mappa di Gauss rispetto alla base del piano tangente determinata dalle parametrizzazioni).
sul primo e secondo punto nn ho avuto problemi (spero siano giusti
)
invece mi trovo in difficotà con il terzo perchè ho capito che devo far vedere che quellle due parametrizzazioni ricoprono la superficie data ma nn so proprio come fare!voi avreste qualche suggerimento da darmi??
per il quarto neanche ho avuto problemi
sul quinto ho un dubbio: ditemi se sono giusti i procedimenti che ho fatto
ho scritto $N_u =a_(11) x_u + a_(21) x_v$ dove con $N_u$ indico la derivata della mappa di gauss rispetto al parametro $u$ e con $x_u$ e $x_v$ le derivate della parametrizzazione rispetto ai due parametri e poi ho scritto $N_v =a_(12) x_u + a_(22) x_v$ e rispettivamente per la parametrizzazione $y(u,v)$ quello che l'esercizio mi chiede è di calcolare i coefficienti $a_(11)$ , $a_(21)$ , $a_(12)$ , $a_(22)$ giusto? e per calcolarli devo usare i coefficienti della prima e seconda forma fondamentale, $a_(11) = (fF-eG)/(EG-F^2)$ dove $E, F, G$ sono i coefficienti della prima forma fondamentale ed $e, f ,g$ quelli della seconda, e così via...è corretta questa risoluzione o mi sto confondendo?
Considerare il sottoinsieme di $R^3$ dato da $S = {f(x; y; z) in R^3 | z = x^2 -y^2}$
1. Mostrare che $S$ è una superficie regolare.
2. Mostrare che $x(u; v) = (u+v; u-v; 4uv)$ con $ (u; v) in R^2$ e $y(u; v) = (u cosh v; u sinh v; u2)$ con $(u; v) in R^2$ con $u !=0$ sono parametrizzazioni di $S$
3. Determinare quali sono le parti di $S$ ricoperte dagli intorni coordinati descritti.
4. Calcolare la prima forma fondamentale e la mappa di Gauss di $S$ in entrambe le parametrizzazioni.
5. Calcolare il differenziale della mappa di Gauss in entrambe le parametrizzazioni (ovvero calcolare la matrice associata al differenziale della mappa di Gauss rispetto alla base del piano tangente determinata dalle parametrizzazioni).
sul primo e secondo punto nn ho avuto problemi (spero siano giusti
) invece mi trovo in difficotà con il terzo perchè ho capito che devo far vedere che quellle due parametrizzazioni ricoprono la superficie data ma nn so proprio come fare!voi avreste qualche suggerimento da darmi??
per il quarto neanche ho avuto problemi
sul quinto ho un dubbio: ditemi se sono giusti i procedimenti che ho fatto
ho scritto $N_u =a_(11) x_u + a_(21) x_v$ dove con $N_u$ indico la derivata della mappa di gauss rispetto al parametro $u$ e con $x_u$ e $x_v$ le derivate della parametrizzazione rispetto ai due parametri e poi ho scritto $N_v =a_(12) x_u + a_(22) x_v$ e rispettivamente per la parametrizzazione $y(u,v)$ quello che l'esercizio mi chiede è di calcolare i coefficienti $a_(11)$ , $a_(21)$ , $a_(12)$ , $a_(22)$ giusto? e per calcolarli devo usare i coefficienti della prima e seconda forma fondamentale, $a_(11) = (fF-eG)/(EG-F^2)$ dove $E, F, G$ sono i coefficienti della prima forma fondamentale ed $e, f ,g$ quelli della seconda, e così via...è corretta questa risoluzione o mi sto confondendo?
Risposte
Ciao, il quesito numero 3 ti chiede (sostanzialmente) se le due parametrizzazioni sono parametrizzazioni locali o globali per $S$...per capirlo e quindi rispondere devi prendere in considerazione quel $u!=0$, in questo modo riuscirai a capire quali parti di $S$ vengono ricoperte da tali parametrizzazioni.
Lo svolgimento del quesito numero 5 direi che è corretto!
Lo svolgimento del quesito numero 5 direi che è corretto!
quindi l'unico punto che mi rimane scoperto usando le due parametrizzazioni è l'origine $(0,0,0)$,che è un punto di $S$ poichè mi verifica l'equazione, giusto?
cmq grazie mille per l'aiuto!! 
e no!!! pensaci bene.....
alla fine ho fatto controllare questo esercizio alla mia prof e mi ha confermato che l'unico punto che rimane scoperto è l'origine!
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