Piano Perpendicolare ad una retta
salve è da un po' che mi sto scervellando su come risolvere questo quesito:
io ho la retta r: $ { ( x+y+z=1 ),( 2x+5y-4z=2 ):} $ identificata dai due piani e devo trovare il piano passante per $ P(1;0;2) $ e perpendicolare alla retta r!
all'apparenza sembra banale, dato che basta trovare una retta del piano da trovare e imporre che sia perpendicolare a quella data e passante per $ P $ , ma a calcoli non ci salto fuori! Non so da dove partire dal
momento che l'equazione del piano che mi interessa penso sia genericamente $ ax+by+cz+d=0 $
chiedo aiuto a voi!!
io ho la retta r: $ { ( x+y+z=1 ),( 2x+5y-4z=2 ):} $ identificata dai due piani e devo trovare il piano passante per $ P(1;0;2) $ e perpendicolare alla retta r!
all'apparenza sembra banale, dato che basta trovare una retta del piano da trovare e imporre che sia perpendicolare a quella data e passante per $ P $ , ma a calcoli non ci salto fuori! Non so da dove partire dal
momento che l'equazione del piano che mi interessa penso sia genericamente $ ax+by+cz+d=0 $
chiedo aiuto a voi!!
Risposte
Un piano ed una retta sono perpendicolari se detti $l,m,n$ i coefficienti direttori di quest'ultima si ha $pi: lx+my+nz+k=0$
Ovviamente vale il viceversa, cioè dato un piano di equazione $ax+by+cz+d=0$ la retta perpendicolare ad esso avrà parametri direttori $(a,b,c)$
Ovviamente vale il viceversa, cioè dato un piano di equazione $ax+by+cz+d=0$ la retta perpendicolare ad esso avrà parametri direttori $(a,b,c)$
quindi scrivo la retta in forma parametrica, ne ricavo $ l,m,n $ poi scrivo il piano nella forma $ pi:lx+my+nz+k=0 $ e alla fine sostituisco i valori del punto per ricavare $ k $....grazie mille ma se posso vorrei chiederti perchè è vero questo, cioè esiste una spiegazione logica o lo prendo per vero? perchè da quel che so valgono cose simili anche per perpendicolarità tra rette e tra piani però non ho idea del perchè...
Scusate come posso scrivere la forma parametrica di quella retta identificata dai 2 piani?
fai la matrice del sistema e la metti a scala col metodo di Gauss e poi risolvi il sistema in un parametro ad esempio poni z=k e poi risolvi anche x e y in funzione di k
E i valori direttori sono i coefficienti del parametro del parmetro scelto, quindi se sono 1 2 3 il piano perpendicolare sarà del tipo x+2y+3z=d? giusto
Ora dobbiamo calcolarci la d, se per esempio questo stesso piano $\pi_1$ contiene una seconda retta $s{(x= -1+2t),( y= 1-4t),(z= -2-6t):}$
come risolverei il calcolo della d? Prendendo i valori (2,-4-6) mi ritrovo 3(2)+(-4)2-3(-6)=d e quindi d =16. giusto??
Ora dobbiamo calcolarci la d, se per esempio questo stesso piano $\pi_1$ contiene una seconda retta $s{(x= -1+2t),( y= 1-4t),(z= -2-6t):}$
come risolverei il calcolo della d? Prendendo i valori (2,-4-6) mi ritrovo 3(2)+(-4)2-3(-6)=d e quindi d =16. giusto??
Comunque se mi potete aiutare ho anche un altro problema.
Calcoolare la minima distanza tra le 2
$r:{(x= 3-t),(y= 2-1/2t),(z= -3):}$
e
$s:{(x= -1+2t’),(y= 1-4t'),(z= -2-6t’):}$
(sghembe
)...come procedo? ho visto un sacco di metodi e non li ho capiti...mi servirebbe capire quello che trova 2 punti delle rette e calcola la linghezza del segmento perpendicola ad entrambi...
Calcoolare la minima distanza tra le 2
$r:{(x= 3-t),(y= 2-1/2t),(z= -3):}$
e
$s:{(x= -1+2t’),(y= 1-4t'),(z= -2-6t’):}$
(sghembe
)...come procedo? ho visto un sacco di metodi e non li ho capiti...mi servirebbe capire quello che trova 2 punti delle rette e calcola la linghezza del segmento perpendicola ad entrambi...
Considere: il fascio di piani
con asse $r$, ed il fascio con asse $s$.
Imponi il parallelismo tra il generici piani dell'uno e dell'altro fascio.
Poi calcola la distanza tra piani paralleli: basta
prendere un punto qualsiasi di un piano, considerare
la retta perpendicolare per questo punto, e vedere l'intersezione con l'altro piano.
la distanza tra questi punti è la distanza che cerchi.
Però.... mi viene
in mente un metodo più semplice assai:
Hai le equazioni parametriche:
minimizzi il modulo del vettore
di separazione tra il generico punto $P$ di $r$ e $P'$ di $s$.
Lascio il quadrato per non portarci dietro una radice, è la stessa cosa.
$||\vec(PP')||^2=(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2=$
$=(4-t-2t')^2+(1-1/2t+4t')^2+(-1+6t')^2=$
Poni le derivate parziali prime uguali a zero, e risolvi
il sistema lineare 2x2.
con asse $r$, ed il fascio con asse $s$.
Imponi il parallelismo tra il generici piani dell'uno e dell'altro fascio.
Poi calcola la distanza tra piani paralleli: basta
prendere un punto qualsiasi di un piano, considerare
la retta perpendicolare per questo punto, e vedere l'intersezione con l'altro piano.
la distanza tra questi punti è la distanza che cerchi.
Però.... mi viene
in mente un metodo più semplice assai:
Hai le equazioni parametriche:
minimizzi il modulo del vettore
di separazione tra il generico punto $P$ di $r$ e $P'$ di $s$.
Lascio il quadrato per non portarci dietro una radice, è la stessa cosa.
$||\vec(PP')||^2=(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2=$
$=(4-t-2t')^2+(1-1/2t+4t')^2+(-1+6t')^2=$
Poni le derivate parziali prime uguali a zero, e risolvi
il sistema lineare 2x2.
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