Determinante e matrice inversa

[marcocortese1]

salve studiando mi sono imbattuto sulle relazioni tra le matrici in base al determinante e quindi al calcolo dell'inversa utilizzando il determinante e ho trovato questo esempio :


sia A= $$\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc}1&2&1\\0&1&{ - 2}\\{ - 1}&2&3\end{array}} \right)$$
si ha che det A=12
Poiché:

$${A_{11}}$$=7 $${A_{21}}$$=-4 $${A_{31}}$$=-5
$${A_{12}}$$=2 $${A_{22}}$$=4 $${A_{32}}$$=2
$${A_{13}}$$=1 $${A_{23}}$$=-4 $${A_{33}}$$=1
la matrice inversa è:

$${A^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc}{\frac{7}{{12}}}&{ - \frac{4}{{12}}}&{ - \frac{5}{{12}}}\\{\frac{2}{{12}}}&{\frac{4}{{12}}}&{\frac{2}{{12}}}\\{\frac{1}{{12}}}&{ - \frac{4}{{12}}}&{\frac{1}{{12}}}\end{array}} \right)$$
e risulta det $${A^{ - 1}}$$=$${\frac{1}{{12}}}$$

mi chiedevo..come ha trovato i valori della matrice inversa?cioè da dove sono usciti il 7,2 1,-4..ecc..??
mi aiutate a capire..
p.s. più che teoricamente preferirei una risposta pratica basata sull'esempio..grazie

[dissonance]

Le formule (clic) non sono leggibili: devi mettere un solo simbolo del dollaro in apertura e uno solo in chiusura. Modifica il messaggio altrimenti sarà difficile che qualcuno ti aiuti.

Comunque credo sia stata usata una classica formula, basata sui cofattori:

http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_in ... _cofattori

[marcocortese1]

vediamo se ci riesco ora
sia A =$((1,2,1),(0,1,-2),(-1,2,3))$
si ha che det A= 12
poichè A(1,1)=7 A(2,1)=-4 A(3,1)=-5
A(1,2)=2 A(2,2)=4 A(3,2)=2
A(1,3)=1 A(2,3)=-4 A(3,3)=1
La matrice inversa

$A^-1$= $((7/12,-4/12,-5/12),(2/12,4/12,2/12),(1/12,-4/12,1/12))$
e risulta det $A^-1$=$1/12$

mi chiedevo..come ha trovato i valori della matrice inversa?cioè da dove sono usciti il 7,2 1,-4..ecc..??
mi aiutate a capire..
p.s. più che teoricamente preferirei una risposta pratica basata sull'esempio..grazie
p.s.2 grazie dissonance

[Gi81]

$A_((i,j))$ indica il minore ottenuto dalla matrice $A$ eliminando la $i$-esima riga e la $j$-esima colonna.
Ad esempio $A_((1,1))=((1,-2),(2,3))$ perchè si sono eliminate la prima riga e la prima colonna della matrice $A$. Dunque $|A_((1,1))|=|(1,-2),(2,3)|=3-(-4)=7$
E così via per tutti gli altri.
Una volta che si sono trovati tutti, questa è la formula per trovare la matrice inversa.

Dove $cof(A,x_(i,j))=(-1)^(i+j)*A_((i,j))$
Qui è spiegato il procedimento.

[marcocortese1]

grazie