Dire per quali valori la matrice è diagonalizzabile
Ragazzi non riesco a risolvere questi 3 problemi, mi aiutate a risolvere almeno uno? Grazie
1) Si consideri la matrice A= $ ( ( 2 , 3 , 0 , 0 ),( -1 , -2 , 0 , 0 ),( a , 0 , -1 , -3 ),( 0 , b , 2 , 4 ) ) $ : dire per quali valori 'a' e 'b' è diagonalizzabile.
2) Si consideri la matrice A= $ ( ( 2 , 3 , 0 , 0 ),( -1 , -2 , 0 , 0 ),( a , b , -1 , -3 ),( 0 , 0 , 2 , 4 ) ) $ : dire per quali valori 'a' e 'b' è diagonalizzabile.
3) Si consideri la matrice A= $ ( ( 2 , 3 , 0 , 0 ),( -1 , -2 , 0 , 0 ),( a , b , -1 , -3 ),( 0 , 0 , 1 , 4 ) ) $ : dire per quali valori 'a' e 'b' è diagonalizzabile.
1) Si consideri la matrice A= $ ( ( 2 , 3 , 0 , 0 ),( -1 , -2 , 0 , 0 ),( a , 0 , -1 , -3 ),( 0 , b , 2 , 4 ) ) $ : dire per quali valori 'a' e 'b' è diagonalizzabile.
2) Si consideri la matrice A= $ ( ( 2 , 3 , 0 , 0 ),( -1 , -2 , 0 , 0 ),( a , b , -1 , -3 ),( 0 , 0 , 2 , 4 ) ) $ : dire per quali valori 'a' e 'b' è diagonalizzabile.
3) Si consideri la matrice A= $ ( ( 2 , 3 , 0 , 0 ),( -1 , -2 , 0 , 0 ),( a , b , -1 , -3 ),( 0 , 0 , 1 , 4 ) ) $ : dire per quali valori 'a' e 'b' è diagonalizzabile.
Risposte
ti aiuto arisolvere tutti e 3:
-si risolvono allo stesso modo!
(come? basta sapere la teoria sulla "diagonalizzabilità").
Insomma:
-trovare autovalori;
-trovare autovettori relativi;
-vedere se questi formano una base.
-si risolvono allo stesso modo!
(come? basta sapere la teoria sulla "diagonalizzabilità").
Insomma:
-trovare autovalori;
-trovare autovettori relativi;
-vedere se questi formano una base.
Io per prima cosa mi trovo il polinomio caratteristico e da questo mi ricavo gli autovalori. Ora poichè per definizione : Una matrice è diagonalizzabile quando la molteplicità algebrica di ogni autovalore deve essere uguale a quella geometrica, considero gli autovalori di molteplicità algebrica >1 poichè la molteplicità geometrica è sempre <=alla molteplicità algebrica . Fino a qui mi segui?
Sì, va bene
L'autovalore che ho trovato è uno solo, lo vado a sostituire nella matrice (I-k) e moltiplico per $ ( ( x ),( y ),( z ),( k) ) $ mettendo a sistema, una volta creato il sistema non riesco a proseguire...
L'autovalore hai a sostistuirlo in $(A-kI)$.
In generale:
Se lavoriamo solo con matrici reali,
ovviamente condizione necessaria a che siano diagonalizzabili
è che abbiano autovalori reali, e che la somma delle
complessità algebriche sia $n$, l'ordine della matrice.
Potresti, in effetti, avere un solo autovalore di complessità algebrica 2,
poichè il polinomio caratteristico è di IV grado.
Ma, se è così, già sai che la matrice non è diagonalizzabile.
Ammettiamo, invece, che tu abbia solo autovalori reali.
Sostituisci ciascuno distinto in $(A-kI)X=\vec0$
Questo è allora un sistema linare omogeneo, che avrà $\infty^m$ soluzioni,
in cui $m$ è uguale all'ordine $n$ della matrice dei coefficienti MENO il suo rango.
$m$ è allora la complessità geometrica dell'autovalore.
La matrice è diagonalizzabile SSE questa complessità geomatrica è pari alla algebrica.
Il tuo considerare dei parametri, allora è:
-nel modificare la complessità algebrica.
-nel modificare il rango della matrice (cioè la complessità geometrica).
In generale:
Se lavoriamo solo con matrici reali,
ovviamente condizione necessaria a che siano diagonalizzabili
è che abbiano autovalori reali, e che la somma delle
complessità algebriche sia $n$, l'ordine della matrice.
Potresti, in effetti, avere un solo autovalore di complessità algebrica 2,
poichè il polinomio caratteristico è di IV grado.
Ma, se è così, già sai che la matrice non è diagonalizzabile.
Ammettiamo, invece, che tu abbia solo autovalori reali.
Sostituisci ciascuno distinto in $(A-kI)X=\vec0$
Questo è allora un sistema linare omogeneo, che avrà $\infty^m$ soluzioni,
in cui $m$ è uguale all'ordine $n$ della matrice dei coefficienti MENO il suo rango.
$m$ è allora la complessità geometrica dell'autovalore.
La matrice è diagonalizzabile SSE questa complessità geomatrica è pari alla algebrica.
Il tuo considerare dei parametri, allora è:
-nel modificare la complessità algebrica.
-nel modificare il rango della matrice (cioè la complessità geometrica).
Quindi cosa devo fare dopo aver impostato il sistema? non riesco a trasformare la complessità geometrica attribuendo valori ad a e b, cioè nn so come fare:S
Intanto: devi avere
tutti auto valori reali, sennò la matrice non è diagonalizzabile.
Questo già ti darebbe condizioni su $a$ e $b$.
Stante che i tuoi autovalori siano tutti reali, ovvvero: $n$ autovalori, non necessariamente distinti, reali_
allora imposti il sistema, che sarà lineare omogeneo;
se l'autovalore ha complessità algebrica $m$, a te interessa che abbia complessità geometrica $m$.
Cosa è il rango di una matrice?
Devi porre che il rango della matrice dei coefficienti sia $n-m$ -dove
$n$ è l'ordine della matrice.
Cioè:
il determinante di OGNI minore della matrice di ordine $(n-m)+1$ deve essere nullo.
Così la dimensione dello spazio delle soluzioni sarà $m$: complessità geometrica=complessità algebrica.
tutti auto valori reali, sennò la matrice non è diagonalizzabile.
Questo già ti darebbe condizioni su $a$ e $b$.
Stante che i tuoi autovalori siano tutti reali, ovvvero: $n$ autovalori, non necessariamente distinti, reali_
allora imposti il sistema, che sarà lineare omogeneo;
se l'autovalore ha complessità algebrica $m$, a te interessa che abbia complessità geometrica $m$.
Cosa è il rango di una matrice?
Devi porre che il rango della matrice dei coefficienti sia $n-m$ -dove
$n$ è l'ordine della matrice.
Cioè:
il determinante di OGNI minore della matrice di ordine $(n-m)+1$ deve essere nullo.
Così la dimensione dello spazio delle soluzioni sarà $m$: complessità geometrica=complessità algebrica.
potresti farmi vedere il procedimento dal sistema in poi?
Avendo tempo sì! ma sai, a casa ho derive ma non la connessione.
Posta tu uno dei sistemi che ottieni _e ne parleremmo (sempre, alas! quando io possa connettermi, scusa: trasloco...).
-vedi, mi sembra c'è in un'altro topic "qua vicino" qualcosa sugli 'orlati': è il tuo caso.
Posta tu uno dei sistemi che ottieni _e ne parleremmo (sempre, alas! quando io possa connettermi, scusa: trasloco...).
-vedi, mi sembra c'è in un'altro topic "qua vicino" qualcosa sugli 'orlati': è il tuo caso.
gli autovalori sono 1 con molteplicità algebrica 2, gli altri con molteplicità algebrica 1 non servono...Il sistema è $ { ( x+3y=0 ),(ax-2z-3k=0),(by+2z+3k=0):}$
Facendo riferimento al primo esercizio, l'autovalore interessato è 1 con molteplicità algebrica 2. Il sistema è $ { ( x+3y=0 ),(ax-2z-3k=0),(by+2z+3k=0):}$
Facendo riferimento al primo esercizio, l'autovalore interessato è 1 con molteplicità algebrica 2.Il sistema è $ { ( x+3y=0 ),(ax-2z-3k=0),(by+2z+3k=0):}$
Essendo l'autovalore $1$, la matrice dei coefficienti del
sistema lineare omogeneo sarà:
$ ( ( 1 , 3 , 0 , 0 ),( -1 , -3 , 0 , 0 ),( a , 0 , -2 , -3 ),( 0 , b , 2 , 3 ) ) $
hai già visto che due righe sono dipendenti, e ne hai tolto una...
Però perchè l'esempio sia il più generale possibile, ora la lasciamo.
Tu vuoi che lo spazio vettoriale (poichè è uno spazio vettoriale) delle soluzioni abbia dimensione $2$ ($infy^2$ soluzioni).
Se la matrice quadrata ha ordine $n$ e rango $m$ -la
dimensione dello spazio delle soluzioni sarà $n-m$.
Cosa è il rango di una matrice?
E'l'ordine massimo di minori quadrati tali che ALMENO UNO abbia determinante non nullo.
Ovvero: se il rango è 2, vuol dire che i minori
quadrati di ordine 3 hanno tutti determinante nullo.
Puoi anche dire che il rango di una matrice è il numero massimo di sue righe(colonne) linearmente indipendenti.
Appare allora chiaro che, per un sistema lineare, se ho una matrice con 5 colonne, e di rango2, per esempio,
posso porre 5-2 variabili come parametri indipendenti.
Come "pesi" in una combinazione lineare.
Avrò $\infty^3$ soluzioni.
Come trovare il rango?
Si può usare il "metodo degli orlati":
trovi un minore quadrato di ordine $j$ che abbia determinante $!=0$,
e poi lo "orli": ovvero consideri i minori di ordine $j+1$ tali che una loro riga O una loro colonna (cioè:
l'una, l'altra o entrambe) sia "contigua" ad una delle righe o colonne rispettivamente del minore di ordine $j$.
Che viene così "orlato".
Se il determinante di TUTTI questi minori di ordine $j+1$ è uguale a $0$, la matrice
ha rango $j$.
Faccio l'esempio.
Nella tua matrice il minore di ordine 2 $((-1,-3),(a,0))$ ha determinante $3a$.
I suoi orlati sono:
$M_1=((1,3,0),(-1,-3,0),(a,0,-2))$,$M_2=((1,3,0),(-1,-3, 0), ( a, 0, -3))$, $M_3=((-1,-3,0),(a,0,-2),(0,b,2))$ ed $M_4$...(quale? pensaci tu)
Ora, $M_1$ ed $M_2$ hanno banalmente determinante nullo.
Se $det(M_3)=0$ E $det(M_4)=0$ la matrice ha rango 2, se uno dei due è diverso da zero, la matrice ha rango $>2$.
Siccome tu sai già che $det(A)=0$ -allora questo eventuale rango $>2$ sarà proprio $3$.
Se $rn(A)=3$, lo spazio delle soluzioni avrà dimensione 1, e la matrice non è diagonalizzabile.
Se$rn(A)=2$, lo spazio avrà dimensione 2, ed $A$ sarà diagonalizzabile.
Devi allora porre $det(M_3)=0$ e $det(M_4)=0$
sistema lineare omogeneo sarà:
$ ( ( 1 , 3 , 0 , 0 ),( -1 , -3 , 0 , 0 ),( a , 0 , -2 , -3 ),( 0 , b , 2 , 3 ) ) $
hai già visto che due righe sono dipendenti, e ne hai tolto una...
Però perchè l'esempio sia il più generale possibile, ora la lasciamo.
Tu vuoi che lo spazio vettoriale (poichè è uno spazio vettoriale) delle soluzioni abbia dimensione $2$ ($infy^2$ soluzioni).
Se la matrice quadrata ha ordine $n$ e rango $m$ -la
dimensione dello spazio delle soluzioni sarà $n-m$.
Cosa è il rango di una matrice?
E'l'ordine massimo di minori quadrati tali che ALMENO UNO abbia determinante non nullo.
Ovvero: se il rango è 2, vuol dire che i minori
quadrati di ordine 3 hanno tutti determinante nullo.
Puoi anche dire che il rango di una matrice è il numero massimo di sue righe(colonne) linearmente indipendenti.
Appare allora chiaro che, per un sistema lineare, se ho una matrice con 5 colonne, e di rango2, per esempio,
posso porre 5-2 variabili come parametri indipendenti.
Come "pesi" in una combinazione lineare.
Avrò $\infty^3$ soluzioni.
Come trovare il rango?
Si può usare il "metodo degli orlati":
trovi un minore quadrato di ordine $j$ che abbia determinante $!=0$,
e poi lo "orli": ovvero consideri i minori di ordine $j+1$ tali che una loro riga O una loro colonna (cioè:
l'una, l'altra o entrambe) sia "contigua" ad una delle righe o colonne rispettivamente del minore di ordine $j$.
Che viene così "orlato".
Se il determinante di TUTTI questi minori di ordine $j+1$ è uguale a $0$, la matrice
ha rango $j$.
Faccio l'esempio.
Nella tua matrice il minore di ordine 2 $((-1,-3),(a,0))$ ha determinante $3a$.
I suoi orlati sono:
$M_1=((1,3,0),(-1,-3,0),(a,0,-2))$,$M_2=((1,3,0),(-1,-3, 0), ( a, 0, -3))$, $M_3=((-1,-3,0),(a,0,-2),(0,b,2))$ ed $M_4$...(quale? pensaci tu)
Ora, $M_1$ ed $M_2$ hanno banalmente determinante nullo.
Se $det(M_3)=0$ E $det(M_4)=0$ la matrice ha rango 2, se uno dei due è diverso da zero, la matrice ha rango $>2$.
Siccome tu sai già che $det(A)=0$ -allora questo eventuale rango $>2$ sarà proprio $3$.
Se $rn(A)=3$, lo spazio delle soluzioni avrà dimensione 1, e la matrice non è diagonalizzabile.
Se$rn(A)=2$, lo spazio avrà dimensione 2, ed $A$ sarà diagonalizzabile.
Devi allora porre $det(M_3)=0$ e $det(M_4)=0$
ok grazie
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