Esercizi di topologia(chiusi e omeomorfismi)
Questo è il secondo post sulla topologia! Ho pensato e ripensato a questi esercizi, ho fatto ricerche per cercare di risolverli... ma proprio non ci sono riuscita! spero che qualcuno mi potrà aiutare con qualche suggerimento 
1) sia (R^2,A) uno spazio topologico, nel quale gli aperti sono $RR$, il vuoto e gli insiemi Aa= ${(x,y): y>ax^2}$ se a$>=$ 0 ed Aa=${(x,y):y
svolgimento:
C è una parabola di vertice l'origine, con la concavità verso l'alto.
in (R,A), gli aperti sono le "parti interne" delle parabole, private del contorno, le loro unioni ed il semipiano delle y positive (per a=0). I chiusi sono le "parti esterne delle parabole o delle loro unioni" ed il semipiano delle y$<=$0.
C non è né chiuso né aperto in tale topologia.
la chiusura di C, è l'intersezione dei chiusi contenenti C.
un chiuso contenente C è R\A1, ma non è il più piccolo, allora ho pensato che potrei ottenerlo come R\ (A1 U Aa), dove Aa è la parabola più grande che posso trovare, con la concavità verso il basso... qui mi sono bloccata.
forse ci sono dei chiusi che non ho considerato?
l'interiore è il vuoto, ma senza chiusura, non sono riuscita a trovare Dr(C) e I(C).
in (R,N), ho notato che C è chiuso, quindi coincide con la sua chiusura, l'interno è il vuoto e Dr(C)=C, I(C) è il vuoto.
2) In R consideriamo le seguenti topologie:
A è la topologia che ha per aperti i sottoinsiemi di [0,6] ed R,
N la topologia naturale di R
A' la topologia che ha per aperti i sottoinsiemi di ]-a,a[.
alcuni dei seguenti sottoinsiemi sono omeomorfi come sottospazi di (R,A)? e di (R,N)? e di (R,A')?
A=${x:x^3>1}$ , B=${x:x>0}$, C=${x:x^2-x>0}$, D=${x:x^2<4}$
svolgimento:
due insiemi sono omeomorfi se esiste un omeomorfismo che li collega.
un omeomorfismo è un'applicazione biettiva, continua, la cui inversa è continua. la mia difficoltà consiste nel trovare l'omeomorfismo, ad esempio, con A e B ho provato a considerare l'applicazione
$ f: x in A\to x-1inB$
f è continua, infatti se f' è l'inversa, f'([0,6])=${ x in A: x-1 in [0,6]}$=[1,6] aperto di A
ma f([1,6])=${ f( x ) in B : x in [1,6] }$ = [1,7] non è un aperto di B.
mi sapete suggerire come posso trovare facilmente un omeomorfismo tra due spazi? oppure se esiste qualche risultato che ci permette di dire quando possiamo affermare che due spazi sono omeomorfi?
1) sia (R^2,A) uno spazio topologico, nel quale gli aperti sono $RR$, il vuoto e gli insiemi Aa= ${(x,y): y>ax^2}$ se a$>=$ 0 ed Aa=${(x,y):y
svolgimento:
C è una parabola di vertice l'origine, con la concavità verso l'alto.
in (R,A), gli aperti sono le "parti interne" delle parabole, private del contorno, le loro unioni ed il semipiano delle y positive (per a=0). I chiusi sono le "parti esterne delle parabole o delle loro unioni" ed il semipiano delle y$<=$0.
C non è né chiuso né aperto in tale topologia.
la chiusura di C, è l'intersezione dei chiusi contenenti C.
un chiuso contenente C è R\A1, ma non è il più piccolo, allora ho pensato che potrei ottenerlo come R\ (A1 U Aa), dove Aa è la parabola più grande che posso trovare, con la concavità verso il basso... qui mi sono bloccata.
forse ci sono dei chiusi che non ho considerato?
l'interiore è il vuoto, ma senza chiusura, non sono riuscita a trovare Dr(C) e I(C).
in (R,N), ho notato che C è chiuso, quindi coincide con la sua chiusura, l'interno è il vuoto e Dr(C)=C, I(C) è il vuoto.
2) In R consideriamo le seguenti topologie:
A è la topologia che ha per aperti i sottoinsiemi di [0,6] ed R,
N la topologia naturale di R
A' la topologia che ha per aperti i sottoinsiemi di ]-a,a[.
alcuni dei seguenti sottoinsiemi sono omeomorfi come sottospazi di (R,A)? e di (R,N)? e di (R,A')?
A=${x:x^3>1}$ , B=${x:x>0}$, C=${x:x^2-x>0}$, D=${x:x^2<4}$
svolgimento:
due insiemi sono omeomorfi se esiste un omeomorfismo che li collega.
un omeomorfismo è un'applicazione biettiva, continua, la cui inversa è continua. la mia difficoltà consiste nel trovare l'omeomorfismo, ad esempio, con A e B ho provato a considerare l'applicazione
$ f: x in A\to x-1inB$
f è continua, infatti se f' è l'inversa, f'([0,6])=${ x in A: x-1 in [0,6]}$=[1,6] aperto di A
ma f([1,6])=${ f( x ) in B : x in [1,6] }$ = [1,7] non è un aperto di B.
mi sapete suggerire come posso trovare facilmente un omeomorfismo tra due spazi? oppure se esiste qualche risultato che ci permette di dire quando possiamo affermare che due spazi sono omeomorfi?
Risposte
"kiki":
dove Aa è la parabola più grande che posso trovare, con la concavità verso il basso...
Bene. Cosa ottieni se unisci tutti gli aperti $A_a$ con a $ a< 0 $ ?? (ricordati che più $a$ si avvicina a $0$ e più la parabola si allarga...)
P.S. è meglio se usi le formule per tutti i simboli matematici. Per far comparire $A_a$ scrivi A_a ...
"perplesso":
[quote="kiki"]dove Aa è la parabola più grande che posso trovare, con la concavità verso il basso...
Bene. Cosa ottieni se unisci tutti gli aperti $A_a$ con a $ a< 0 $ ?? (ricordati che più $a$ si avvicina a $0$ e più la parabola si allarga...)
P.S. è meglio se usi le formule per tutti i simboli matematici. Per far comparire $A_a$ scrivi A_a ...[/quote]
Più la parabola si allarga, più si avvicina all'asse delle x.... quindi posso ottenere il semipiano delle y negative?
Ps grazie per i suggerimenti!
esatto.
"perplesso":
esatto.
quindi la chiusura di C, C' = ${(x,y)inR^2: 0<=y<=x^2}$
Dr(C) = C', mentre I(C) è il vuoto, perchè $AA (x,y) in C', \nexists A_a : A_a nnC={(x,y)}$ al variare di a.
Spero di aver fatto bene! ti ringrazio
per caso sai darmi qualche consiglio su come svolgere il secondo esercizio?
Grazie mille ancora!
Il primo è ok. Per il secondo, prima di tutto riscrivo quegli insiemi
$A=(1,+ \infty)$
$B=(0,+ \infty)$
$C=(- \infty, 0) \cup (1,+ \infty)$
$D=(-2,2)$
nella topologia naturale è tutto facile, basta riflettere che tutti gli intervalli aperti sono omoemorfi e che un insieme disconnesso (cioè $C$) non è omemorfo a un intervallo connesso. Nella seconda topologia, quella dei sottoinsiemi di $[0,6]$, le cose si incasinano. Direi che $A$ e $B$ sono omeomorfi. Gli aperti di $A$ sono i sottoinsiemi di $(1,6]$ quelli di $B$ sono le parti di $(0,6]$. Se riusciamo a "comprimere" il secondo intervallo nel primo siamo a cavallo. Ho pensato che si può fare questo $f: x \in B -> ( 5/6 x +1) \in A$. Lascio a te controllare biettività e bicontinuità... Anche $D$ potrebbe essere isomorfo ad $A$, invece per C al momento non ho idee. Nella terza topologia $A$ e $B$ mi sembrano evidentemente omeomorfi, basta operare una traslazione $x \in B -> x+1 \in A$. Per $C$ e $D$ non lo so, se mi viene in mente qualcosa te lo dico.
Questo è uno dei problemi fondamentali della topologia. Pensa che c'è un intero ramo di questa disciplina, la topologia algebrica (che io non conosco), che usa un sacco di strumenti dell'algebra solo per rispondere a questa domanda!
Cmq a un livello più elementare bisogna cercare di usare le proprietà topologiche, per esempio se uno spazio è compatto e un altro invece no allora non sono omemorfi e così via con tutte le altre proprietà...
$A=(1,+ \infty)$
$B=(0,+ \infty)$
$C=(- \infty, 0) \cup (1,+ \infty)$
$D=(-2,2)$
nella topologia naturale è tutto facile, basta riflettere che tutti gli intervalli aperti sono omoemorfi e che un insieme disconnesso (cioè $C$) non è omemorfo a un intervallo connesso. Nella seconda topologia, quella dei sottoinsiemi di $[0,6]$, le cose si incasinano. Direi che $A$ e $B$ sono omeomorfi. Gli aperti di $A$ sono i sottoinsiemi di $(1,6]$ quelli di $B$ sono le parti di $(0,6]$. Se riusciamo a "comprimere" il secondo intervallo nel primo siamo a cavallo. Ho pensato che si può fare questo $f: x \in B -> ( 5/6 x +1) \in A$. Lascio a te controllare biettività e bicontinuità... Anche $D$ potrebbe essere isomorfo ad $A$, invece per C al momento non ho idee. Nella terza topologia $A$ e $B$ mi sembrano evidentemente omeomorfi, basta operare una traslazione $x \in B -> x+1 \in A$. Per $C$ e $D$ non lo so, se mi viene in mente qualcosa te lo dico.
"kiki":
esiste qualche risultato che ci permette di dire quando possiamo affermare che due spazi sono omeomorfi?
Questo è uno dei problemi fondamentali della topologia. Pensa che c'è un intero ramo di questa disciplina, la topologia algebrica (che io non conosco), che usa un sacco di strumenti dell'algebra solo per rispondere a questa domanda!
Cmq a un livello più elementare bisogna cercare di usare le proprietà topologiche, per esempio se uno spazio è compatto e un altro invece no allora non sono omemorfi e così via con tutte le altre proprietà...
"perplesso":
Il primo è ok. Per il secondo, prima di tutto riscrivo quegli insiemi
$A=(1,+ \infty)$
$B=(0,+ \infty)$
$C=(- \infty, 0) \cup (1,+ \infty)$
$D=(-2,2)$
nella topologia naturale è tutto facile, basta riflettere che tutti gli intervalli aperti sono omoemorfi e che un insieme disconnesso (cioè $C$) non è omemorfo a un intervallo connesso. Nella seconda topologia, quella dei sottoinsiemi di $[0,6]$, le cose si incasinano. Direi che $A$ e $B$ sono omeomorfi. Gli aperti di $A$ sono i sottoinsiemi di $(1,6]$ quelli di $B$ sono le parti di $(0,6]$. Se riusciamo a "comprimere" il secondo intervallo nel primo siamo a cavallo. Ho pensato che si può fare questo $f: x \in B -> ( 5/6 x +1) \in A$. Lascio a te controllare biettività e bicontinuità... Anche $D$ potrebbe essere isomorfo ad $A$, invece per C al momento non ho idee. Nella terza topologia $A$ e $B$ mi sembrano evidentemente omeomorfi, basta operare una traslazione $x \in B -> x+1 \in A$. Per $C$ e $D$ non lo so, se mi viene in mente qualcosa te lo dico.
[quote="kiki"] esiste qualche risultato che ci permette di dire quando possiamo affermare che due spazi sono omeomorfi?
Questo è uno dei problemi fondamentali della topologia. Pensa che c'è un intero ramo di questa disciplina, la topologia algebrica (che io non conosco), che usa un sacco di strumenti dell'algebra solo per rispondere a questa domanda!
Cmq a un livello più elementare bisogna cercare di usare le proprietà topologiche, per esempio se uno spazio è compatto e un altro invece no allora non sono omemorfi e così via con tutte le altre proprietà...[/quote] grazie!! sono riuscita a completarli tutti (spero bene), tranne uno!
In $(R,A)$, anche $D$ è omeomorfo ad $A$, considero infatti $f: x\inB -> (-3x+6)\in A$. di conseguenza anche $B$ e $D$ sono omeomorfi! In $C$ gli aperti sono i sottoinsiemi di (1,6], gli stessi aperti che abbiamo trovato in $A$, quindi posso considerare la funzione identica che è un omeomorfismo perchè $A_A = A_C$.
In $(R',A')$, $D$ non è omeomorfo a nessuno degli altri sottoinsiemi, perchè è compatto, mentre gli altri insiemi non lo sono. L'unico su cui non sono riuscita a dire nulla è C!
grazie mille! l'esame è vicinissimo e riuscire a capire come si svolgono questi esercizi, è importante per me! grazie!
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