Esercizio Algebra Lineare in preparazione all'esame

[lordb]

Ciao a tutti, vi propongo un semplice esercizio che mi capitò all'orale di Geometria&Algebra a Marzo (non so perchè ma mi è venuto in mente adesso). Sicuramente un buon allenamento per chi sta preparando quest'esame, (per gli altri probabilmente sarà una stupidata)

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[Sk_Anonymous]

Abbiamo a che fare con un operatore autoaggiunto, quindi per il teorema spettrale tale operatore ammette una base ortonormale di autovettori. La traccia è invariante per similitudine, quindi sarà \(\displaystyle \text{tr}(A^{2012})=3 \); per il determinante bisogna lavorare un attimino con il teorema di Binet tenendo in considerazione che le matrici ortogonali hanno determinante uguale a \(\displaystyle 1 \) o a \(\displaystyle -1 \).

[lordb]

Per la traccia ci siamo (anche se io feci in un altro modo).

"Delirium":tenendo in considerazione che le matrici ortogonali hanno determinante uguale a \(\displaystyle 1 \) o a \(\displaystyle -1 \).

Cosa c'entrano le matrici ortogonali?

[lordb]

@Seneca

$h(x)$ non può essere irriducibile

[Seneca1]

Ho cancellato il mio intervento per sbaglio. Comunque perché dici che il polinomio caratteristico non può essere $p(x) = h(x) * (x + 1)$ con $h$ irriducibile?

[lordb]

@Seneca

Pechè la matrice è simmetrica reale.

@Sergio

Mi sembra ok. Tuttavia nella prima dimostrazione mi sembra che tu non abbia utilizzato il fatto fondamentale che $AinM_3(RR)|^tA=A$,infatti se non fosse per quello non si potrebbe sfruttare ciò.

[lordb]

@Sergio

Perchè se non lo fosse nessuno ti assicura che sia diagonalizzabile automaticamente per similitudine e dunque non si potrebbe costruire una matrice simile diagonale con tutti $-1$ sulla diagonale principale.

edit: @Sergio

Sul fatto che la molteplicità algebrica di $-1$ sia $3$ non si discute, ma è chiaro che da sola non basta per dire che sia diagonalizzabile per similitudine (ovvero che la molteplicità geometrica sia $3$).

[lordb]

@Sergio interessante, grazie!

[Sk_Anonymous]

"lordb":Per la traccia ci siamo (anche se io feci in un altro modo).

[quote="Delirium"]tenendo in considerazione che le matrici ortogonali hanno determinante uguale a \(\displaystyle 1 \) o a \(\displaystyle -1 \).

Cosa c'entrano le matrici ortogonali?

[lordb]

@Delirium

Ah ok, mi sfuggiva il fatto che ti riferivi al teorema sulla diagonalizzazione delle matrici simmetriche.