Esercizio matrice simmetrica

[stomaich]

Salve, non capisco come risolvere il seguente esercizio.

Sia $B = ((-1,4),(-2,8))$. Determinare le matrici $A$ tali che $A*B$ è una matrice simmetrica. Queste matrici $A$ costituiscono un sottospazio di $M_2(R)$? Se si determinare la dimensione e una base.

Come si svolge?

[lordb]

Ciao, inizia:

$A=((a,b),(c,d))$

$A*B=((a,b),(c,d))*((-1,4),(-2,8))=((c^1_1,c^1_2),(c^2_1,c^2_2))$

Poi imponi che: $c^1_2=c^2_1$

Questo per il primo punto...

[stomaich]

è quello che ho fatto io...ma puoi solo trovare un parametro a,b,c,d in funzione degli altri tre...è dopo che non so più andare avanti. :/

[lordb]

Bhè ti chiede di trovare tutte le matrici $A$ tali che $A*B$ è una matrice simmetrica, non stupisce che non ce ne sia solo una.
Semplicemente risolvi il sistema che hai trovato (risolvere=trovare una base per lo spazio delle soluzioni)

[stomaich]

Dunque, io l'ho risolto così...vediamo cosa ne pensi:

$A = ((a,b),(c,d))$

$A⋅B = ((a,b),(c,d))*((-1,4),(-2,8)) = ((-a-2b,4a+8b),(-c-2d,4c+8d))$

Poiche $A*B$ deve essere una matrice simmetrica deve essre necessariamente: $-c-2d=4a+8b$, da cui deriva $c=-2d-4a-8b$.

Si ha quindi $A=((a,b),(-2d-4a-8b, d))$

$V={((a,b),(-2d-4a-8b, d)) in M_2(R) | a,b,d in R} =$
$= {a((1,0),(-4, 0))+b((0,1),(-8, 0))+d((0,0),(-2, 1)) | a,b,d in R} =$
$= L(((1,0),(-4, 0));((0,1),(-8, 0));((0,0),(-2, 1)))$

$V$ è sottospazio 3-dimensionale di $M_2(R)$ generato dalle matrici linearmente indipendenti $((1,0),(-4, 0)),((0,1),(-8, 0)),((0,0),(-2, 1))$ che insieme ne costituiscono una base.

[lordb]

I passaggi mi sembrano corretti