Esercizio stella di piani
siano X ed Y i punti in cui un piano $b$ della stella che ha per centro il punto $P=(3,-1,2)$ incontra l'asse x e l'asse y . scrivere le equazioni dei piani della stella per i quali $OX=OY$ dove O è l'origine.
non riesco ad impostare questo problema so qual è l'eq. della stella di piani in generale ma come sfrutto il fatto che è noto il centro??? e i suoi piani come li ricavo??
mi servirebbe una mano:(
non riesco ad impostare questo problema so qual è l'eq. della stella di piani in generale ma come sfrutto il fatto che è noto il centro??? e i suoi piani come li ricavo??
mi servirebbe una mano:(
Risposte
La stella di piani di centro un punto P = (X, Y, Z) ha equazione a(x - X) + b(y - Y) + c(z - Z) = 0, con a, b e c parametri reali non tutti nulli. Nel nostro caso quindi la stella richiesta ha equazioni a(x - 3) + b(y + 1) + c(z - 2) = 0.
Tuttavia per il nostro problema risulta più conveniente ragionare in un altro modo. Intanto, dalla traccia si evince che l'intersezione tra i piani cercati e gli assi x e y devono essere 2 punti; pertanto i piani paralleli all'asse x o all'asse y non possono essere soluzioni del problema, in quanto in tal caso l'intersezione sarebbe vuota o coinciderebbe con uno dei 2 assi. Detto questo, sia X = (k, 0, 0) il punto in cui un piano p della stella interseca l'asse x. Ovviamente OX = |k|. Pertanto p è soluzione se e solo se incontra l'asse y nel punto Y = (0, +-k, 0). Calcolando l'equazione del piano per i punti O, X e Y così determinati si ottiene, al variare di k in R, i piani cercati. Non ho svolto i calcoli, ma si vede che, se k = 0, X = Y per cui il piano non è unico; dunque anche tutti i piani per P e l'origine sono soluzioni.
Tuttavia per il nostro problema risulta più conveniente ragionare in un altro modo. Intanto, dalla traccia si evince che l'intersezione tra i piani cercati e gli assi x e y devono essere 2 punti; pertanto i piani paralleli all'asse x o all'asse y non possono essere soluzioni del problema, in quanto in tal caso l'intersezione sarebbe vuota o coinciderebbe con uno dei 2 assi. Detto questo, sia X = (k, 0, 0) il punto in cui un piano p della stella interseca l'asse x. Ovviamente OX = |k|. Pertanto p è soluzione se e solo se incontra l'asse y nel punto Y = (0, +-k, 0). Calcolando l'equazione del piano per i punti O, X e Y così determinati si ottiene, al variare di k in R, i piani cercati. Non ho svolto i calcoli, ma si vede che, se k = 0, X = Y per cui il piano non è unico; dunque anche tutti i piani per P e l'origine sono soluzioni.
non riesco a trovare l'equazione di piani per i tre punti X Y O...
mi viene strano...
guarda...
passaggio per X ===> $a(k-3)=0$ $a=0$ o $k=3$
passaggio per Y ===> $b(+-k-1)=0$ $b=0$ o $k=+-1$
ma poi non so come andare avanti
a te cm viene?
mi viene strano...
guarda...
passaggio per X ===> $a(k-3)=0$ $a=0$ o $k=3$
passaggio per Y ===> $b(+-k-1)=0$ $b=0$ o $k=+-1$
ma poi non so come andare avanti
a te cm viene?
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