Calcolo autovettori e sistemi indeterminati
Salve a tutti,
Una domanda riguardo il calcolo degli autovettori di una matrice, quando ci si trova a che fare con sistemi indeterminati una volta trovati gli autovalori.
Ad esempio, ho la matrice $A = [[1,0,0],[1,0,1],[-2,2,-1]]$, con polinomio caratteristico $(1-t)(t^2+t-2)$, e quindi autovalori $t_1=1 text{(molteplicità 2), e }t_2=-2 text{(molteplicità 1)}$.
Nel calcolare gli autovalori, sostituisco alla matrice A - tI, prima 1, e poi -2.
Nel caso di t = 1, ottengo: $A-I = [[0,0,0],[1,-1,1],[-2,2,-2]]$. Come trovo ora gli autovettori? Il sistema è indeterminato, e se provo a risolverlo direttamente per sostituzione ottengo: $\{(x = y-z),(-2x +2y -2z = 0):}$. Da qui come trovo il primo autovettore?
Una domanda riguardo il calcolo degli autovettori di una matrice, quando ci si trova a che fare con sistemi indeterminati una volta trovati gli autovalori.
Ad esempio, ho la matrice $A = [[1,0,0],[1,0,1],[-2,2,-1]]$, con polinomio caratteristico $(1-t)(t^2+t-2)$, e quindi autovalori $t_1=1 text{(molteplicità 2), e }t_2=-2 text{(molteplicità 1)}$.
Nel calcolare gli autovalori, sostituisco alla matrice A - tI, prima 1, e poi -2.
Nel caso di t = 1, ottengo: $A-I = [[0,0,0],[1,-1,1],[-2,2,-2]]$. Come trovo ora gli autovettori? Il sistema è indeterminato, e se provo a risolverlo direttamente per sostituzione ottengo: $\{(x = y-z),(-2x +2y -2z = 0):}$. Da qui come trovo il primo autovettore?
Risposte
Mi sembra che sia tutto a posto . L'unica equazione che devi considerare è \(\displaystyle x=y-z \)
Ora hai due variabili "libere" ( ad esempio y e z) ed una "legata". Ponendo successivamente :
\(\displaystyle y=1,z=0 \) hai \(\displaystyle x=1 \)
\(\displaystyle y=0,z=1 \) hai \(\displaystyle x=-1 \)
Pertanto l'autospazio corrispondente è \(\displaystyle \text{Span}((1,1,0),(-1,0,1)) \)
La dimensione di detto autospazio è 2 ,come deve essere, visto che la m.a. dell'autovalore da cui ha origine è proprio 2.
Ora hai due variabili "libere" ( ad esempio y e z) ed una "legata". Ponendo successivamente :
\(\displaystyle y=1,z=0 \) hai \(\displaystyle x=1 \)
\(\displaystyle y=0,z=1 \) hai \(\displaystyle x=-1 \)
Pertanto l'autospazio corrispondente è \(\displaystyle \text{Span}((1,1,0),(-1,0,1)) \)
La dimensione di detto autospazio è 2 ,come deve essere, visto che la m.a. dell'autovalore da cui ha origine è proprio 2.
"vittorino70":
Mi sembra che sia tutto a posto . L'unica equazione che devi considerare è \(\displaystyle x=y-z \)
Ora hai due variabili "libere" ( ad esempio y e z) ed una "legata". Ponendo successivamente :
\(\displaystyle y=1,z=0 \) hai \(\displaystyle x=1 \)
\(\displaystyle y=0,z=1 \) hai \(\displaystyle x=-1 \)
Pertanto l'autospazio corrispondente è \(\displaystyle \text{Span}((1,1,0),(-1,0,1)) \)
La dimensione di detto autospazio è 2 ,come deve essere, visto che la m.a. dell'autovalore da cui ha origine è proprio 2.
Perfetto grazie, quindi in generale come per tutti i sistemi indeterminati annullo prima un parametro e poi l'altro per ricavare un autovettore.
Una domanda riguardo sempre quella matrice: ho visto nelle soluzioni dell'esercizio, e inserisce anche un altro autovettore, ovvero (1, 2, 1). Da cosa lo ricava?
Annullare prima un parametro e poi un altro non è un metodo generale. Si fà così per comodità e sempre se l'esercizio lo consente. L'importante è trovare il numero di autovettori sufficiente a formare una base dell'autospazio corrispondente all'autovalore in questione. Per esempio l'autovettore (1,2,1) lo trovi ponendo y=2 ,z=1 nell'equazione \(\displaystyle x=y-z \)
A questo punto come base dell'autospazio puoi prendere anche\(\displaystyle (1,2,1),(1,1,0) \) oppure \(\displaystyle (1,2,1),(-1,0,1) \)
A questo punto come base dell'autospazio puoi prendere anche\(\displaystyle (1,2,1),(1,1,0) \) oppure \(\displaystyle (1,2,1),(-1,0,1) \)
Come metodo generale quindi cosa va fatto?
Perché non capisco con che criterio poi sceglie il secondo autovettore come (1,2,1) in questo esercizio (ci sono anche le soluzioni ma non spiega passo-passo):
(nota: la base è la base canonica, è un errore di battitura del prof il fatto che la base sia (1,0,0) (0,1,0) (1,1,1) e non (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1))
Perché non capisco con che criterio poi sceglie il secondo autovettore come (1,2,1) in questo esercizio (ci sono anche le soluzioni ma non spiega passo-passo):
(nota: la base è la base canonica, è un errore di battitura del prof il fatto che la base sia (1,0,0) (0,1,0) (1,1,1) e non (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1))
Mi ripeto : se devi trovare una base di un autospazio relativo ad un certo autovettore devi calcolare la m.g. dell'autovettore (che non sempre coincide con la m.a.) e costruire una base dell'autospazio con un numero di vettori indipendenti pari a detta m.g.
La scelta è del tutto arbitraria ma va fatta sulle equazioni ( o sulla matrice) che definiscono la f.
La scelta è del tutto arbitraria ma va fatta sulle equazioni ( o sulla matrice) che definiscono la f.
"vittorino70":
Mi ripeto : se devi trovare una base di un autospazio relativo ad un certo autovettore devi calcolare la m.g. dell'autovettore (che non sempre coincide con la m.a.) e costruire una base dell'autospazio con un numero di vettori indipendenti pari a detta m.g.
La scelta è del tutto arbitraria ma va fatta sulle equazioni ( o sulla matrice) che definiscono la f.
Credo di aver capito; quindi devo prima calcolare la molteplicità geometrica dell'autovettore, e poi trovare due basi dell'autospazio arbitrarie partendo dalle equazioni che trovo?
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