Stabilire se un'applicazione lineare è un isomorfismo
Per essere un isomorfismo deve essere contemporaneamente suriettiva e iniettiva.Ora,se ad esempio ho l'applicaz.
$L:RR->RR^3$ definita come $L(t)=(0,t,pit)$ credo che per affermare che è iniettiva bisogna controllare che l'unica soluzione del sistema $ { ( 0=0 ),( t=0 ),( pit=0 ):} $ sia la terna (0,0,0) ,(in questo caso quindi è iniettiva).
Però non so stabilire in quale caso è anche suriettiva(per lo meno in un caso generale,perchè in questo so che non lo è visto che la prima coordinata del vettore immagine è costretta ad essere 0 in ogni caso,e quindi non potrà mai esprimere tutti i vettori di $RR^3$).Però,come ho detto,nei casi generali non saprei,è sempre evidente?
$L:RR->RR^3$ definita come $L(t)=(0,t,pit)$ credo che per affermare che è iniettiva bisogna controllare che l'unica soluzione del sistema $ { ( 0=0 ),( t=0 ),( pit=0 ):} $ sia la terna (0,0,0) ,(in questo caso quindi è iniettiva).
Però non so stabilire in quale caso è anche suriettiva(per lo meno in un caso generale,perchè in questo so che non lo è visto che la prima coordinata del vettore immagine è costretta ad essere 0 in ogni caso,e quindi non potrà mai esprimere tutti i vettori di $RR^3$).Però,come ho detto,nei casi generali non saprei,è sempre evidente?
Risposte
"Mifert4":
[...] bisogna controllare che l'unica soluzione del sistema $ { ( 0=0 ),( t=0 ),( pit=0 ):} $ sia la terna (0,0,0) ,(in questo caso quindi è iniettiva).
No. Bisogna verificare che il nucleo sia il vettore nullo dello spazio $RR$, non il vettore nullo di $RR^3$.
In questo caso $L$ è iniettiva ma non suriettiva - come hai spiegato. In generale potrebbe essere utile tenere a mente la formula di dimensione per le applicazioni lineari.
"Seneca":
No. Bisogna verificare che il nucleo sia il vettore nullo dello spazio $RR$, non il vettore nullo di $RR^3$
Si si certo,è stato un errore di distrazione
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