Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve ragazzi ho un problema con un esercizio sulle trasformazioni
il testo è il seguente:
Sia T:R3 --->M(2x2) una applicazione lineare dello spazio R3 delle terne ordinate di numeri reali, allo spazio delle matrici quadrate di ordine 2 a coefficienti reali, tale che:
T$((1),(0),(0))$=$((1),(0),(0),(1))$ T$((1),(1),(0))$=$((1),(1),(0),(1))$ T$((1),(1),(1))$=$((0),(-1),(1),(0))$
Calcolare T(5;¡3; 2). Determinare la matrice che rappresenta T rispetto alle basi
B e E dove B è la base ...
A me,facendo i conti,viene che la coppia di vettori ${(2,5),(5,2)}$ è una base dello spazio vettoriale $V={(x,y)|2x+5y=0}$
perchè è possibile scrivere tutte le coppie del tipo $(x,-2/5y)$ come combinazione lineare dei due vettori(che sono linearmente indipendenti)
Non capisco dove sbaglio
Si discuta, al variare del parametro reale k, la compatibilità del sistema:
$\{(kx1+ x3 = 0),(kx1 + x2 + x3 = 2k),(x1 + kx2 + x3 = 2k):}$
Si indichino le soluzioni in corrispondenza degli eventuali valori di k per cui il sistema è compatibile.
Allora procedo nel calcolare il determinante che mi viene: k-1
quindi so che per K $!=$ 1 il sistema è compatibile.
Procedo con Cramer e mi trovo le tre soluzioni ossia:
$x_1=2k$
$x_2=2k$
$x_3= (2k^2-2k^3)/(k-1)$
fin qui guardando le soluzioni dal libro mi trovo, ovvero ...
Sto cercando di capire come andare avanti con un esercizio, prima ho controllato quello già fatto durante la lezione, dove per trovare il volume del parallelepipedo in base ai vettori si ricorre ad una formula semplice. Adesso ho un esercizio simile, ma con una piramide con quattro lati di cui bisogna sempre calcolare il volume in base ai vettori. Ho provato a seguire lo stesso procedimento dell'esercizio precedente, ma nonostante ciò non riesco ad andare avanti. Potete darmi ...
Assegnata nel piano euclideo la conica \(\displaystyle C : tx^2 + 2xy + y^2 + 8x + 2y + 1 = 0 \) determinare i valori di \(\displaystyle t \) per i quali il centro della conica appartiene alla retta \(\displaystyle x − y = 0 \)
Io pensavo di risolverlo nel seguente modo..sapendo che il centro di una conica si trova con \(\displaystyle x_{0} =\frac{\alpha_{01}}{ \alpha_{00}} \) ; \(\displaystyle y_{0} =\frac{\alpha_{02}}{ \alpha_{00}} \) dove \(\displaystyle \alpha_{02} \) è il minore di ...
Buongiorno, su vari temi d'esame mi sono imbattuto in questo esercizio che continuo a faticare a risolvere, chiedo aiuto a voi come ultima speranza =)
Mi viene dato il sottospazio di R5: V formato da:
X1 + X3 + 3X4 = 0
X1 - 2X2 + X3 +X4 + 2X5 = 0
X5 - X2 = 0
e il sottospazio W formato da:
t(0,2,2,1,2), t(2,0,1,-1,0), t(1,1,1,1,1) e t(0,4,6,-2,4).
Per prima cosa mi dedico alla base di V, la cui matrice dovrebbe essere:
$((1,0,1,3,0),(1,-2,1,1,2),(0,-1,0,0,1))$
quindi ridotta da:
$((1,0,1,0,0),(0,1,0,0,-1),(0,0,0,0,0))$
Quindi la ...
Trovare la retta che passa per $A(1,2,-1)$ e parallela ai piani $x+y-1=0$ e $2y+3=0$.
poichè il secondo piano è parallelo al piano $XZ$, allora $y=2$
ma se $y$ è determinata (fissa), allora dall'equazione del primo piano anche $x$ è determinata, e vale quindi $x=1$
l'unica cosa che varia è quindi $z=t$
qualcuno mi fornisce un procedimento piu' ortodosso (e soprattutto generico)?
Non riesco a verificare che questo sia un sottospazio dello spazio vettoriale costituito dai polinomi in t di grado minore o uguale a tre:
"L'insieme dei polinomi nell'incognita t con grado inferiore o uguale a 3 tali che $p(-t)=-p(t)$ "
Si vede facilmente che lo zero dello spazio(cioè il polinomio avente tutti i coefficienti uguali a zero) esiste.
Inoltre riesco ad intuire che se moltiplico un polinomio di questo tipo per uno scalare ottengo ancora un polinomio di questo tipo.
Ma non ...
Scusate non riesco a capire come risolve questa tipologia di esercizi:
Siano
\(\displaystyle V_1 = \{ (x1, ... , x5) \in \mathbb{R}^5 | x1 + x2 - x3 = 0; x3 - x4 = 0; x5 = 0\} \)
\(\displaystyle V_2 = \{ (x1, ... , x5) \in \mathbb{R}^5| x1 + x5 = 0; x2 -x3 = 0 \} \)
\(\displaystyle V_3 = Span((0, 0, 0, 1, 1)) \)
Si determini la dimensione del seguente sottospazio vettoriale dello spazio degli
endomor smi lineari di \(\displaystyle \mathbb{R}^5\):
\(\displaystyle W = \{F \in End(\mathbb{R}^5) | ...
Ciao a tutti. Vorrei postare questo esercizio perché non riesco a capire come si procede ( non si se sia corretta la sezione!).
Il testo e' il seguente:
Data la matrice
A={{1,i},{-i,1}}
Calcolare auto valori, autovettori e proiettori ( questo punto e' stato già svolto).
Utilizzare i proiettori trovati per calcolare una matrice B unitaria a traccia nulla, con determinante detB=1 che commuta con A.
Qui non so proprio come procedere per trovare la matrice B. Spero possiate aiutarmi a capire il ...
Salve amici,
sto guardando questa pagina:
http://en.wikipedia.org/wiki/Fiber_bundle
col fine di capire cosa è un principal- Gbundle. Premetto che ho una vaga familiarità con i vector bundles. Volevo chiedere quale è la relazione tra il gruppo G citato nel paragrafo "Vector and principal bundles", che agisce sulla data fibra e lo structure group, che serve ad incollare due diverse trivializzazione locali.
Inoltre non capisco la seconda parte della frase frase del paragrafo "Structure groups and transition ...
Dalla geometria è noto che l'equazione di un cono avente vertice $(0,0,c)$ sull'asse $z$ si scrive come:
$(z-c)^2 = x^2 + y^2$
Tuttavia, quando si richiede di scrivere l'equazione di un cono avente vertice sull'asse delle x (es. (a,0,0)), è lecito utilizzare la stessa formula invertendo gli assi? Nel senso, è lecito scrivere:
$(x-a)^2 = y^2 + z^2$
Io pensavo di sì, ma non mi trovo con i conti di alcuni integrali tripli.
Grazie per l'attenzione
dm
Ciao a tutti... Cerco qualche aiutino per mostrare che il sottospazio
${(x,y,s,t) \in \mathbb{R}^4|x^2+y=0 \and x^2+y^2+s^2+t^2+y=1}$
è diffeomorfo ad $S^2$. Vi ringrazio anticipatamente!
Che legame c'è tra il verificare che l'intersezione di 3 piani è una retta e il rango della matrice dei loro coefficienti ?
Se l'intersezione fosse un punto credo che bisognerebbe verificare che il rango sia 3,perchè così ci si assicura che i tre vettori direzione siano linearmente indipendenti,ma nel caso di una retta non saprei
Scusate se l'argomento è forse stupido, ma di matematica ne capisco purtroppo poco, ho un esame e ce la sto mettendo tutta per essere preparato e superarlo. La mia domanda riguarda le matrici.
Ho due sistemi (con due soluzioni diverse), gli esercizi mi chiedono di discutere al variare del parametro di K,la compatibilità del sistema e di indicare le soluzioni in corrispondenza degli eventuali valori di K per cui il sistema è compatibile. Il primo:
x-y+z=-k
x+y+z=2k
3x+y+3z=3k
mi trovo il ...
Ciao a tutti, ho bisogno di un chiarimento
quando ho una funzione lineare del tipo f(p(x)) = p'(x) essendo p(x) un polinomio di grado minore o uguale a 2,
so che la base del dominio è $ { x^2 , x , 1 } $.
Ora sò anche che f(x^2) = 2x , f(x) = 1 , f(1) = 0
come andrebbe scritta la matrice associata rispetto alla base canonica, giusta:
$ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ) $ oppure $ ( ( 0 , 1 , 0 ),( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
i termini in $ x^2 $ vanno inseriti nella prima riga o nell'ultima?
spero di essere stato chiaro
grazie ...
Salve, avrei bisogno del vostro aiuto per un esercizio (che in realtà è una via di mezzo tra analisi numerica e algebra lineare, ma il mio problema sta più che altro nel secondo ambito...e se ho sbagliato sezione, chiedo venia! )
TESTO:
Data $A in M_n(RR)$ una matrice di elementi $a_{i,j} = epsilon$ con $epsilon in (0, 1/2)$ se $j !=i$, $a_{i,i} = v^{alpha}$ con $v=1024, alpha >=-1/10$ se $i+j$ dispari; altrimenti $a_{i,i}=1$
a) Si discuta l'esistenza della fattorizzazione di ...
Necessito del seguente chiarimento: poniamo che debba calcolare una base di uno spazio vettoriale V di Rn generato da k vettori, ora se disponendo questi vettori come righe di una matrice, e calcolandone il rango scopro che è minore di k, poniamo 3, prendo 3 vettori linearmente indipendenti e ho una base. Ora è lo stesso se prendo 3 vettori linearmente indipendenti tra i vettori originali, o se prendo 3 righe della matrice ridotta (in scala per righe) che ho trovato col metodo di gauss per il ...
Buongiorno a tutti!!
vi è mai capitato di non riuscire a trovare le radici del polinomio caratteristico di una matrice quadrata? Non mi era mai capitato, ma durante la prova mi sono bloccata proprio su questo!
Data la matrice
A=$((2,-1,-1),(-1,-1,0),(-1,0,0))$
mi calcolo il polinomio caratteristico $|A - \lambda I|=0$, dove $I=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$
facendo i calcoli, il polinomio caratteristico è
$\lambda^3-\lambda^2-4\lambda-1=0$
per sapere qual'è la mia quadrica (l'esercizio di partenza riguarda le quadriche), ho bisogno di ...
Buonasera,
sono alle prese con la preparazione dell'esame di Algebra e Geometria per il corso di Fisica.
Di seguito posto parte di un esercizio (l'unico quesito che non mi è chiaro):
Al variare di $h$ in $RR$, si consideri l'applicazione lineare $f_h : RR^3 -> RR^3 $ individuata dalle seguenti condizioni:
$\f_h((1,0,0))=(1,3,h), f_h((0,2,1))=(h,2h+1,1), f_h((0,0,3))=(3h,3,3)$
ed il sottospazio $U={\vec x in RR^3 | x+y+2z=0}$
trovare $f_0(U)$
Dunque... Ho capito che U è uguale al sottospazio generato da due vettori (e ciò ...
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