Matrice unitaria a traccia nulla che commuta con altra

[bad.alex]

Ciao a tutti. Vorrei postare questo esercizio perché non riesco a capire come si procede ( non si se sia corretta la sezione!).
Il testo e' il seguente:
Data la matrice

A={{1,i},{-i,1}}
Calcolare auto valori, autovettori e proiettori ( questo punto e' stato già svolto).
Utilizzare i proiettori trovati per calcolare una matrice B unitaria a traccia nulla, con determinante detB=1 che commuta con A.
Qui non so proprio come procedere per trovare la matrice B. Spero possiate aiutarmi a capire il ragionamento e il procedimento.

Grazie.


Alex

[ZeroMemory]

cosa è un proiettore? Il fatto è che non ho mai usato questo termine...

[bad.alex]

Ciao. Per il proiettore, il calcolo prevede di partire dalla matrice A e di trovare autovettori. Una volta trovati questi autovettori, occorre normalizzarli. Nel caso di questa matrice, trovo due autovettori, v1 e v2. Uno lo normalizzo, l'altro è gia normalizzato. Dopodichè considero il primo autovettore v1 normalizzato. Moltiplico il coniugato di questo autovettore per se stesso, così da ottenere una matrice 2x2. Ripeto lo stesso procedimento per l'autovettore v2. In genere, si utilizzano i proiettori nel caso di funzioni di matrici...

[dissonance]

Appunto, funzioni di matrici. Se \(B\) è una funzione di \(A\) allora di sicuro commuta con \(A\). Devi solamente determinare una funzione di \(A\) con le proprietà richieste, e se hai già calcolato autovalori e proiettori il più è fatto.

[dissonance]

Ci sei riuscito? Guarda, \(A\) è Hermitiana, quindi per il teorema spettrale essa si decompone in somma:
\[
A=\lambda_1P_1+\lambda_2P_2,
\]
dove \(\lambda_1, \lambda_2\) sono gli autovalori (\(0\) e \(2\) mi pare che siano) e \(P_1, P_2\) sono i proiettori ortogonali sui relativi autospazi. (Se questa formulazione del teorema spettrale ti è nuova, osserva che stiamo solo dicendo, in un altro modo, che \(A\) ha una base ortonormale di autovettori). Cerchiamo una \(B\) che sia funzione di \(A\), ovvero
\[
B=f(\lambda_1)P_1+f(\lambda_2)P_2.\]
Rimangono da determinare \(\mu_1=f(\lambda_1)\) e \(\mu_2=f(\lambda_2)\). Siccome \(B\) deve essere unitaria, questi due numeri complessi devono avere modulo unitario. Siccome \(B\) deve avere traccia nulla, deve aversi \(\mu_1\mathrm{tr}(P_1)+\mu_2\mathrm{tr}(P_2)=0\). Infine dobbiamo imporre che \(\det B=0\). Mi pare che ci siano abbastanza condizioni per individuare univocamente \(\mu_1\) e \(\mu_2\).

Prova un po', vedi se viene fuori qualcosa di buono.