Base di un sottospazio

[Zui1]

Necessito del seguente chiarimento: poniamo che debba calcolare una base di uno spazio vettoriale V di Rn generato da k vettori, ora se disponendo questi vettori come righe di una matrice, e calcolandone il rango scopro che è minore di k, poniamo 3, prendo 3 vettori linearmente indipendenti e ho una base. Ora è lo stesso se prendo 3 vettori linearmente indipendenti tra i vettori originali, o se prendo 3 righe della matrice ridotta (in scala per righe) che ho trovato col metodo di gauss per il calcolo del determinante?

insomma, con operazioni elementari sulle righe, vado a trovare famiglie di generatori equivalenti?
Idem per le colonne, se in una matrice opero SOLO sulle colonne, queste, quando ridotte in scala per colonne costituiscono un insieme di generatori (o base, se linearmente indipendenti) dell'immagine della funzione, equivalenti a n colonne linearmente indipendenti della matrice di partenza?

Chiedo questo perché in molti esercizi, avendo preso come basi dei vettori della matrice in scala per righe, e avendo poi fatto somme e intersezioni, non ho ottenuto somme e intersezioni di sottospazi equivalenti ai risultati del libro, che come basi aveva preso righe linearmente indipendenti della matrice di partenza.

Grazie!

[Seneca1]

Le operazioni elementari sulle righe (per esempio), non modificano lo spazio delle righe della matrice. Quindi la matrice ridotta per righe dovrebbe darti una base dello spazio generato dai vettori riga della matrice da cui sei partito.