Trasformazione lineare T:R3-->M(2x2)
Salve ragazzi ho un problema con un esercizio sulle trasformazioni
il testo è il seguente:
Sia T:R3 --->M(2x2) una applicazione lineare dello spazio R3 delle terne ordinate di numeri reali, allo spazio delle matrici quadrate di ordine 2 a coefficienti reali, tale che:
T$((1),(0),(0))$=$((1),(0),(0),(1))$ T$((1),(1),(0))$=$((1),(1),(0),(1))$ T$((1),(1),(1))$=$((0),(-1),(1),(0))$
Calcolare T(5;¡3; 2). Determinare la matrice che rappresenta T rispetto alle basi
B e E dove B è la base canonica di R3 e E = {E11;E12E21E22}, avendo indicato con
Eij la matrice che ha 1 nel posto (i; j) e 0 altrove. Calcolare infine KerT e ImT.
ora, io sono riuscito a calcolare la matrice della trasformazione T (credo) che dovrebbe essere:
T: $((1,0,-1),(0,1,-2),(0,0,1),(1,0,-1))$
e di conseguenza T$((5),(-3),(2))$=$((3),(-7),(2),(3))$
ora il mio dilemma:
quando devo scrivere T in base B, devo scrivere ogni vettore di T come combinazione lineare di B. Io ho preso i vettori riga, poiché hanno 3 elementi e ho trovato la matrice in base B.
Ma da come è scritto il testo, la base E dovrebbe essere:
$((1,0),(0,0))$ oppure $((0,1),(1,1))$
che volendo potrei scrivere anche come
$((1),(0),(0),(0))$ e $((0),(1),(1),(1))$
ma c'è un problema di coerenza tra la base assegnata e la matrice da adattare e non so piu dove mettere le mani.
Chiedo scusa per non usare correttamente il format che vedo spesso applicato negli altri post per la scrittura delle formula, ma dopo 2 ore su questo esercizio, ho preferito scriverlo nel modo grezzo ma piu leggibile possibile.
il testo è il seguente:
Sia T:R3 --->M(2x2) una applicazione lineare dello spazio R3 delle terne ordinate di numeri reali, allo spazio delle matrici quadrate di ordine 2 a coefficienti reali, tale che:
T$((1),(0),(0))$=$((1),(0),(0),(1))$ T$((1),(1),(0))$=$((1),(1),(0),(1))$ T$((1),(1),(1))$=$((0),(-1),(1),(0))$
Calcolare T(5;¡3; 2). Determinare la matrice che rappresenta T rispetto alle basi
B e E dove B è la base canonica di R3 e E = {E11;E12E21E22}, avendo indicato con
Eij la matrice che ha 1 nel posto (i; j) e 0 altrove. Calcolare infine KerT e ImT.
ora, io sono riuscito a calcolare la matrice della trasformazione T (credo) che dovrebbe essere:
T: $((1,0,-1),(0,1,-2),(0,0,1),(1,0,-1))$
e di conseguenza T$((5),(-3),(2))$=$((3),(-7),(2),(3))$
ora il mio dilemma:
quando devo scrivere T in base B, devo scrivere ogni vettore di T come combinazione lineare di B. Io ho preso i vettori riga, poiché hanno 3 elementi e ho trovato la matrice in base B.
Ma da come è scritto il testo, la base E dovrebbe essere:
$((1,0),(0,0))$ oppure $((0,1),(1,1))$
che volendo potrei scrivere anche come
$((1),(0),(0),(0))$ e $((0),(1),(1),(1))$
ma c'è un problema di coerenza tra la base assegnata e la matrice da adattare e non so piu dove mettere le mani.
Chiedo scusa per non usare correttamente il format che vedo spesso applicato negli altri post per la scrittura delle formula, ma dopo 2 ore su questo esercizio, ho preferito scriverlo nel modo grezzo ma piu leggibile possibile.
Risposte
Non ho capito in che base ti chiede di esprimere la tua matrice..
la base B è la canonica:
$((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$
mentre la base E è
<$((1,0),(0,0))$,$((0,1),(1,1))$
$((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$
mentre la base E è
<$((1,0),(0,0))$,$((0,1),(1,1))$
Ma $E$ non è una base di $M(2,2)$.. Quindi devi insomma scrivere la matrice della composizione tra T e la proiezioni nello spazio generato da $E$? Se fosse così, sarebbe sufficiente scrivere la matrice della mappa che manda $(1, 0, 0, 0)$ in $(1, 0)$ e $(0,1,1,1)$ in $(0,1)$ e poi moltiplicare $T$ per questa matrice in modo opportuno.
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