Sottoinsieme di $\mathbb{R}^4$ diffeomorfo ad $S^2$

[ale.b14]

Ciao a tutti... Cerco qualche aiutino per mostrare che il sottospazio

${(x,y,s,t) \in \mathbb{R}^4|x^2+y=0 \and x^2+y^2+s^2+t^2+y=1}$

è diffeomorfo ad $S^2$. Vi ringrazio anticipatamente!

[j18eos]

Inizia a notare che \(x^2=-y\) quindi che accade alla seconda equazione?

[ale.b14]

Ok, la seconda equazione diventa $y^2+s^2+t^2=1$. Essa descriverebbe la sfera $S^2$ in $\mathbb{R}^4$ se la $x$ fosse costante, ma così non è perchè l'unica altra relazione imposta è $x^2+y=0$.
Ora cosa si può dire?

[j18eos]

Veramente quella equazione descrive un cilindro su \(\mathbb{S}^2\) in \(\mathbb{R}^4\)...

Comunque quella prima equazione ti impone un vincolo sulla \(y\), che poi ti servirà per capire com'è fatto quell'insieme e chi è il diffeomorfismo da scrivere!

[ale.b14]

Lo so che è un cilindro in $\mathbb{R}^4$... Quello intendevo quando dicevo che se la $y$ fosse costante sarebbe proprio la sfera $S^2$!
Questo non succede, quindi come faccio ad intuire come può esser fatto un simile insieme e a mostrare che è diffeomorfo alla sfera?

[j18eos]

L'intuizione sta nel fatto che quel cilindro su \(S^2\) lo intersechi con qualcosa che ti ricorda \(\mathbb{R}^3\)...

Comunque questo approccio visivo non mi convince più... hai provato con il teorema della funzione implicita? Oppure divago