Fiber bundle
Salve amici,
sto guardando questa pagina:
http://en.wikipedia.org/wiki/Fiber_bundle
col fine di capire cosa è un principal- Gbundle. Premetto che ho una vaga familiarità con i vector bundles. Volevo chiedere quale è la relazione tra il gruppo G citato nel paragrafo "Vector and principal bundles", che agisce sulla data fibra e lo structure group, che serve ad incollare due diverse trivializzazione locali.
Inoltre non capisco la seconda parte della frase frase del paragrafo "Structure groups and transition functions", che mi sembra collegata:
"A principal G-bundle is a G-bundle where the fiber F is a principal homogeneous space for the left action of G itself (equivalently, one can specify that the action of G on the fiber F is free and transitive). In this case, it is often a matter of convenience to identify F with G and so obtain a (right) action of G on the principal bundle."
sto guardando questa pagina:
http://en.wikipedia.org/wiki/Fiber_bundle
col fine di capire cosa è un principal- Gbundle. Premetto che ho una vaga familiarità con i vector bundles. Volevo chiedere quale è la relazione tra il gruppo G citato nel paragrafo "Vector and principal bundles", che agisce sulla data fibra e lo structure group, che serve ad incollare due diverse trivializzazione locali.
Inoltre non capisco la seconda parte della frase frase del paragrafo "Structure groups and transition functions", che mi sembra collegata:
"A principal G-bundle is a G-bundle where the fiber F is a principal homogeneous space for the left action of G itself (equivalently, one can specify that the action of G on the fiber F is free and transitive). In this case, it is often a matter of convenience to identify F with G and so obtain a (right) action of G on the principal bundle."
Risposte
Un G-fibrato e' la cosa definita li': le funzioni di transizione sono mappe continue (lisce, etc. a seconda della tua categoria di spazi di riferimento) $g_{ij} : U_{ij}\to G$ che soddisfano le condizioni di cociclo (se sei pratico della cosa puoi vedere la situazione in termini di sezioni di un fascio e relative condizioni di matching).
Un G-fibrato e' principale se in piu' vale questa condizione (click) e tutti gli stabilizzatori dell'azione sono banali; equivalentemente, $E\to B$ e' principale se $G$ agisce in modo libero e transitivo.
Un G-fibrato e' principale se in piu' vale questa condizione (click) e tutti gli stabilizzatori dell'azione sono banali; equivalentemente, $E\to B$ e' principale se $G$ agisce in modo libero e transitivo.
wow, grazie mille!!
Posso chiederti a quale azione ti riferisci qui? Le funzioni $g_{i,j}$ forse? Ma allora in tal caso non dovrei avere una azione di gruppo per ogni coppia $i,j$ di aperti che contengono il punto dove è incollata la fibra?
"killing_buddha":
Un G-fibrato e' principale se in piu' vale questa condizione (click) e tutti gli stabilizzatori dell'azione sono banali; equivalentemente, $E\to B$ e' principale se $G$ agisce in modo libero e transitivo.
Posso chiederti a quale azione ti riferisci qui? Le funzioni $g_{i,j}$ forse? Ma allora in tal caso non dovrei avere una azione di gruppo per ogni coppia $i,j$ di aperti che contengono il punto dove è incollata la fibra?
Del resto, pensandoci un attimo:
Le funzioni $g_{i,j}$ servono ad incollare le parametrizzazioni (e quindi direi che agiscono per forza in modo transitivo?) e quindi non agiscono sulla fibra ma sullo spazio omogeneo a cui la fibra è omeomorfa.
Quindi direi che ti riferisci ad una azione di gruppo distinta da queste indotte dalla parametrizzazione, right? Più fondamentale e che agisce direttamente sul G-fibrato...
Le funzioni $g_{i,j}$ servono ad incollare le parametrizzazioni (e quindi direi che agiscono per forza in modo transitivo?) e quindi non agiscono sulla fibra ma sullo spazio omogeneo a cui la fibra è omeomorfa.
Quindi direi che ti riferisci ad una azione di gruppo distinta da queste indotte dalla parametrizzazione, right? Più fondamentale e che agisce direttamente sul G-fibrato...
Purtroppo ora ti rispondo da un mobile phone.. Comunque senza carta e penna e a memoria: a opportune ipotesi sul tipo di bundle, il gruppo strutturale agisce via diffeomorfismi delle fibre dello spazio totale. Mi riferisco a quella azione
"killing_buddha":
Purtroppo ora ti rispondo da un mobile phone.. Comunque senza carta e penna e a memoria: a opportune ipotesi sul tipo di bundle, il gruppo strutturale agisce via diffeomorfismi delle fibre dello spazio totale. Mi riferisco a quella azione
Allora, prendiamo due aperti $U_i,U_j$ che contengono $x$. Abbiamo associati i diffeomorfismi $\phi_i: \pi^{-1}(U_i)-> U_i \times G$ e $\phi_j: \pi^{-1}(U_j)-> U_j \times G$ e la funzione di transizione $g_{i,j}:U_i \cap U_j -> G$ che ci incolla le fibre fornendo un diffeomerfismo $U_i \cap U_j \times G -> U_i \cap U_j \times G$.
Ma a livello del G-fibrato se componiamo quest'ultimo diffeomorfismo con le funzioni $\phi_i^{-1}$ e $\phi_j$ non dovremmo ottenere l'identità? Il gruppo strutturale non serve proprio per incollare le fibre di modo che valga questo?
Mi sto confondendo ci penso un po' di più...
No, una cosa e' la fibra, un'altra e' il gruppo strutturale... Ma ora ho sonno, ti riprendo domani
"killing_buddha":
No, una cosa e' la fibra, un'altra e' il gruppo strutturale... Ma ora ho sonno, ti riprendo domani
ok ti aspetto!
Cancella il mio commento precedente, la pagina di wiki dice che automaticamente la fibra di un G-fibrato è omeomorfa a G. Allora la condizione che scrivi è giusta, il fatto che componendo quelle mappe tu ottenga l'identità è una delle condizioni di cociclo.
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