Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti!!
facendo un esercizio di algebra lineare mi sono bloccata su due punti.
(1)Sia V uno spazio vettoriale delle matrici simmetriche 2x2 e sia $ f : V rarr V $ l'operatore lineare definito ponendo $ f ( ( ( a , b ),( b , c ) ) )= ( ( a-2c , b ) , ( b , a-2c )) $ .
Calcolando la matrice che esprime f rispetto alla base $B$ = $ {( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ),( ( 1 , 0 ) , ( 0 , -1) ) ,( ( 0 , 1 ), ( 1 ,0 ))} $ ho ottenuto
$ A $ = $ ( ( -1 , 3 , 0 ),( 0, 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ .
ora l'esercizio mi chiede di trovare una base di $ V $ composta da autovettori di $ f $ . Io ...
quando devo studiare la diagonalizzabilità al variare di un parametro cioè quando devo fare $det(A-λI)=0$ quando sono endomorfismi di $RR^3$ vengono dei polinomi di terzo grado con tanto di parametro variabile che sono abbastanza difficili da studiare perche non sempre riesco a scomporli
per caso c'è una via alternativa che si può usare quando i calcoli in questo modo risultano troppo laboriosi??
Buongiorno! Sto cercando di svolgere degli esercizi riguardanti il polinomio caratteristico data una matrice (generalmente 3x3). Il mio problema di fondo non e' il procedimento x trovare il polinomio ma come. Mi spiego meglio, ecco qua l'esercizio proposto:
$ | ( 1 , t , 1 ),( t , t , t ),( 1 , t , 1 ) | $
Allora, prendo questa matrice e cerco il determinante con (A-XI), ottenendo:
$ (1-x)( ( t-x , t ),( t , 1-x ) ) - t( ( 1-x , 1 ),( 1 , 1-x ) ) + 1( ( t , t-x ),( 1 , t ) ) $
A questo punto effettuo le varie operazioni algebriche e ottengo:
$ (1-x)[(t-x)(1-x)-t^2] -t[(1-x)(1-x)] + [t^2-(t-x)] $
Adesso mi verrebbe naturale fare ...
ciao a tutti
mi serve un chiarimento su questo esercizio
siano le rette: r: $\{(x+y=1),(y+z=1):}$ s: $\{(y-hx=h),(y-z=h):}$
stabilire la posizione reciproca delle 2 rette al variare di h
SVOLGIMENTO
allora prima di tutto ho guardato la complanarità
e ho determinato che per h=1 sono complanari
poi dovevo determinare se sono parallele o perpendicolari
CONDIZIONE DI PARALLELISMO: vettore parallelo retta r=k vettore parallelo retta s
ovvero i vettori sono l uno multiplo dell altro
ma ho ...
Ciao,
sto cercando di risolvere degli esercizi che mi richiedono di dimostrare che certe coppie di spazi non sono omeomorfi tra loro ma faccio fatica a trovare un buon metodo.
Per esempio come dimostro che il cilindro e la semisfera seguenti non sono omeomorfi?
\[ A= S^1 \times (-1,1) \]
\[ B=\{(x,y,z)| x^2 +y^2 + z^2 =1, z
Salve ragazzi, ecco il mio problema :
sia $R^2[t]$ lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a 2
1. dimostrare che $\beta$ = {1+$t^2$,1-t,1+t+$t^2$} è una base di $R^2[t]$
2. sia C = {1,t,$t^2$} la base canonica di $R^2[t]$ . Calcolare $M_B^C$ e $M_C^B$
3. calcolare le coordinate di p(t) = $a_0$ + $a_1$t + ...
Sono quasi imbarazzato a porvi un tale quesito che si addice di più ad uno studente delle superiori piuttosto che universitario, eppure non riesco a venirne fuori.
In sostanza si deve esprimere le componenti del versore di una terna ortonormale fissata nello spazio rispetto ad una terna solidale ad un rigido.
L'immagine credo riesco a chiarirvi meglio le idee:
Si nota la terna Oxyz nello spazio e la terna Gijk solidale alla retta "s". Devo esprimere il versore e3, quindi versore dell'asse z, ...
Mi viene richiesto di determinare una base di U∩W (entrambi sottospazi di R4) con W generato da (1,1,1,1),(1,2,1,2),(0,1,0,0) e U {x,y,z,t} / -x-y-z+t=0
ora la dimensione di U è 3, è generato dai vettori u1=(-1,1,0,0), u2=(-1,0,1,0), u3=(1,0,0,1)
ora, per trovare l'intersezione, vedo per quali r s t r*u1 + s*u2 +t*u3 sta in W, ovvero quando la matrice le cui righe sono w1 w2 w3 r*u1 + s*u2 +t*u3 ha rango 3 (o determinante nullo), e ottengo r=-2, s=1, t=0 oppure r=1, s=0, t=1 quindi ...
Ciao, amici! Il Sernesi, Geometria I, p. 107 dell'edizione Bollati Boringhieri del 2000, riporta il seguente teorema:
"Siano \(S,T\subset\mathbf{A}\) due sottospazi affini paralleli [...] Se $"dim"(S)="dim"(T)$ ed $S$ e $T$ hanno almeno un punto in comune, allora $S=T$".
La dimostrazione si basa sul fatto che "se $"dim"(S)="dim"(T)$, allora $\mathbf{W}=\mathbf{U}$ [dove direi che $\mathbf{W}$ è la giacitura di $S$ e $\mathbf{U}$ quella di ...
Sapreste fornirmi (se esiste) un esempio di spazio topologico \(X\) non compatto tale che \(f(X)\) sia compatto per ogni funzione continua \(f \colon X \to \mathbb{R}\) ?
Buonasera,
vi espongo un mio dubbio riguardante lo svolgimento del seguente esercizio:
Data l'applicazione lineare $f:RR^3->RR^2$ che, rispetto alle basi canoniche $B$ di $RR^3$ e $B'$ di $RR^2$ è rappresentata dalla matrice $A=((1,0,-1),(2,1,0))$
determinare:
a) l'immagine di un qualunque vettore $\vec v$ di $RR^3$
Bene, vengo al dunque:
Mi si chiede di determinare l'immagine di un qualunque vettore dello spazio "di ...
Gentili utenti del forum buonasera! Volevo chiedervi se potete gentilmente risolvere o quantomeno darmi un aiuto nello svolgimento di questo esercizio
"Provare che $S^3$ è un retratto di deformazione di $S^4\setminus\{(0,0,0,0,1),(0,0,0,0,-1)\}$''
in ogni caso grazie per avere dedicato del tempo alla mia richiesta
Ciao, amici!
Sono abituato, dal Sernesi e da altri miei studi precedenti relativi a matrici in $M_{m,n}(RR)$ e $M_{m,n}(CC)$, a considerare prodotti matriciali definiti come $M_{m,n}(K)×M_{n,p}(K)\to M_{m,p}(K)$ con $K$ campo.
Nei miei calcoli e note a margine mi sono però abituato a rappresentare un vettore \(\mathbf{v}=x_1\mathbf{b}_1+...+x_n\mathbf{b}_n\) con scritture del tipo \(\mathbf{v}=\begin{pmatrix} \mathbf{b}_1...\mathbf{b}_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\\vdots\\x_n ...
volevo farvi una domanda.. se in un esercizio ho tre rette r, s, t
r: $y+1=z+2=0$ t:$y+3=x-y+2=0$ s:$y-z=x-z+1=0$
e l'esercizio mi chiede di studiare la loro posizione reciproca.. come procedo?per quanto riguarda il parallelismo mi studio i parametri direttori delle tre rette. se r,t ed r,s sono parallele anche t ed s sono parallele(per la proprietà transitiva) se non lo sono vedo se sono ortogonali sempre facendo come nel caso precedente... se non sono nemmemo ortogonali? ...
Buona sera!
Ho un fastidio con un esercizio sulla retta proiettiva. Avendo i punti:
\(A=(1:0) B=(1:1) C=(1:2)\)
\(A'=1:0) B=(1:-2) C=(0:1)\)
devo trovare l'espressione della proiettività in forma analitica che trasforma A,B,C in A', B', C'.
Prima di tutto ho notato che A=A' quindi l'ho escluso dal sistema.
risolvendo il sistema viene una matrice
$((2,1),(-5,2))$
che trasforma i punti A,B,C in A',B',C'.
La forma analitica è la frazione dove ho \(x_1=(-5+3x)/(2-1x)\)?
Per trovare i punti ...
Salve, ho questa retta e un piano...il testo mi chiede di trovare il loro punto di intersezione...
r: $\{(x=t),(y=1-t),(z=2t):}$
$pi$ : $x-y+z+1=0$
Ho portato la retta in forma cartesiana e ho messo a sistema la retta e il piano trovando le soluzioni....solo che questo sistema non ha soluzioni e quindi non ha un punto di intersezione...vi trovate ?
Salve,
avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio purtroppo non riesco a capire da dove partire:
Sia dati i seguenti sottospazi vettoriali di R^4:
V=(x,y,z,w) : x + 2z = w, y - z = 0;
W=
a) Stabilire se esiste qualche relazione insiemistica tra V e W (se uno
e contenuto nell'altro), calcolare le dimensioni di V e W e della loro
intersezione.
b) Determinare un omomorfi smo R^4 -> R^4 con nucleo uguale a W.
Ringrazio Anticipatamente,
Cordialità. Andrea.
Se ho un sottospazio di R3 generato da 2 vettori indipendenti, e un sottospazio sempre di R3 generato da 1 vettore, è la stessa cosa, per trovarne l'intersezione, vedere se i primi stan nel secondo, o se il secondo sta nei primi?
Verificare dopo aver studiato la curva che la sua parte reale è contenuta in un rettangolo.
Non so da dove partire . Saprei impostare la cosa se avesi un polinomio di secondo grado in x ed in y ma non di 4° grado.
A meno di fare una posizione :
$ x^2= t $ e $ y^2= z$
per cui:
$ t^2 + z^2 - sqrt z (t+z)=0 $ , ma anche qui non riesco ad intravedere niente di familiare per la presenza della radice.
Intuisco pero' che sicuramente c'è una parte immaginaria ed una parte reale.
Mi ...
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