Geometria e Algebra Lineare

Ciao ragazzi! Sono alle prime armi con degli esercizi di algebra lineare riguardanti gli spazi vettoriali. Sono ferma a questo: dato il sottospazio \( \langle(1,2,1), (0,1,0)\rangle di \mathbb{Q}^3 \), dire quali dei seguenti sottospazi sono ad esso complementari: -1- \( \langle0\rangle \) -2- \( \mathbb{Q}^3 \) -3- \( \langle(1,1,1)\rangle \) -4- \( \langle(1,0,1)\rangle \) -5- \( \{(x,y,z) \in {Q}^3 | x-y+z=0\} \) 1 e 2 mi sembra che abbiano una risposta immediata: il sottospazio banale non ...

Si discuta il seguente sistema parametrico al variare del parametro reale k: 2x+y=2 x+ky=1 y+3kz=k Svolgendo questo esercizio, nella discussione si ottiene che: 1)per k diverso da 0 e da 1/2 il sistema è compatibile con soluzione(1,0,1/3); 2)per k=0 il sistema è compatibile con "infinito alla uno" soluzioni; 3)per k=1/2 si ha la stessa situazione presentata per k=0; Dunque il sistema non è mai incompatibile, ma sicuramente avrò sbagliato qualcosa perchè la 2) e la 3) sono ridondanti. Sareste ...

Salve a tutti, vorrei un chiarimento sul polinomio caratteristico. Se trovo un polinomio caratteristico uguale ad un equazione di terzo grado scomponibile come: -x(x^2-5x+8) Dove x sarebbe l'autovalore.In questo caso l'unica soluzione reale sarebbe x=0 poichè il polinomio di secondo grado ha delta negativo, in questo caso posso concludere che la matrice associata non è diagonalizzabile ?

Buondì! Avrei alcune domande: 1) Si determini, se possibile, un'applicazione lineare $ f: RR^3 \rightarrow RR^2 $ tale che $ (1,1) notin Im(f) $. Fissando nel dominio e nel codominio la base canonica, ho scritto direttamente la matrice associata. Va bene quella che ho scelto? $ A= ((7,3/2,14),(5,0,10)) $ 2) Sia $ V $ uno spazio vettoriale e sia $ X $ un sottoinsieme finito di $ V $. Si dimostri che se $ X $ contiene il vettore nullo, allora i vettori di ...

Ho due rette nello spazio parametrizzate da (alfa). ${3x + z -1 = 0 \and ay +z = 0}$ ${x +y +z + a = 0 \and 2x -y = 0}$ Per stabilire la loro reciprocità ho studiato la matrice incompleta e completa, ricavandomi che per: $a \ne 0$ e $ a \ne -1$ e $ a \ne 3/2$ hanno rispettivamente rango uguale a 3(incompleta) e 4(completa), cioè sghembe. Invece, per $a = 0$ oppure per $a = -1$ esse sono incidenti. L'unico caso che rimane(è l'unico caso?), $a = 3/2$ con cui abbiamo il rango ...

Sto svolgendo alcune prove di esame di algebra lineare e mi sono ritrovato a dover affrontare un esercizio in cui mi si chiede di diagonalizzare questa matrice: $((1,0,0),(1,1,1),(1,1,-1))$ determinando autovalori e autovettori. Poi mi si chiede di scrivere la matrice $P^-1$ tale che la matrice diagonale sia $D= P^-1*A*P$. Inizio col calcolo del polinomio caratteristico, che secondo i miei calcoli è $(1-\lambda)*(\lambda^2 -2)$, da cui gli autovalori sono $\lambda=1 $e $\lambda= + o - sqrt(2)$. Nel ...

Salve a tutti Sto realizzando un programma in c e dovrei calcolare il raggio spettrale di una matrice quadrata reale e simmetrica, cercando un pò in internet ho trovato che in questa circostanza vale la formula \[||A||_2=p(A)\] che è esattamente ciò che fa per me, però ho un dubbio su \(||A||_2\), infatti mi pare di aver capito che \(||A||_2\) della prima formula \(\neq\) dal \(||A||_2\) della seguente formula \[||A||_2=\sqrt{\sum_i^n\sum_j^n{|a_{ij}|^2}}\] Quello che vorrei sapere e se ...

Ciao a tutti, sono alle prese con un esercizio che non so risolvere: sia $S:={((x_1),(x_2),(x_3))\inRR^3 : \{(x_1-2x_2+kx_3=k-1),(x_1-2x_2+x_3=0),(-x_1+2kx_2-2x_3=0) :} \text(con: ) k\inRR}$ Si determinino i valori $k$ per i quali $S$ è sottospazio vettoriale di $RR^3$! non sapendo come risolverlo ho provato un approccio ... poco diretto: Perchè $S$ sia sottospazio vettoriale deve essere chiuso rispetto alla somma e al prodotto per scalare. Quindi: presi: $u:=((x_1),(x_2),(x_3))$ e $v:=((y_1),(y_2),(y_3))$ con $u,v\inS$ anche ...

Edit: Scusami, in realta' ho proprio sbaglaato a copiare la matrice. Ciao, ho una domanda: risolvere il seguente sistema lineare tramite l'eliminazione gauss: $\{(x+3y+3z=0),(4x-4y+6z=0),(5x-y+9z=0):}$ Scrivo la matrice associata: $\((1,3,3),(4,-4,6),(5,-1,9))|((0),(0),(0))$ procedo con il metodo di gauss: Riduzioni: $II=4I-II$ e $III=5I-III$ e ottengo: $\((1,3,3),(0,16,6),(0,16,6)) |((0),(0),(0))$ ora il prossimo passaggio: $III=II -III$ $\((1,3,3),(0,16,6),(0,0,0)) |((0),(0),(0))$ ottengo: $16y=-6z => 8y=-3z => y=-3/8z$ $x+3y+3z=0 => x+3y-8y = 0 => x-5y=0 => x= 5y = 5(-3/8)z=-15/8z$ quindi il mio vettore soluzioni, posto ...

ciao a tutti, sono nuovo, questo è il mio primo post qui, spero innanzitutto di non violare nessuna regola. Andiamo subito al sodo, non sono sicuro di aver interpretato correttamente la consegna di questo esercizio (posto l'esercizio e poi scrivo come ho interpretato la consegna) : Dato il sottospazio vettoriale W ⊂ R^5 definito da: $\{(2x + ay + t = 0),(z - t - s = 0):}$ Si determini una base per W e una base ortogonale (rispetto al prodotto scalare standard) per W⊥. Se non sbaglio W è il sottospazio delle ...

Ciao a tutti!! ho da fare questa dimostrazione. Penso di averla fatta ma preferirei qualcuno piu esperto giudicasse la validità della dimostazione. "Sia $f:X->Y$ una funzione continua tra spazi topologici e sia $Z=Imf$ munito della topologia relativa. Dimostrare che $f$ è continua se e solo se $f2 : X->Z$ definita da $f(x)=f2(x)$ è continua." Ho fatto come segue. So che $f:X->Y$ è una funzione continua quindi $f^(-1)(V)$,dove ...

Salve a tutti... ho trovato un esercizio e sfogliando in rete ho trovato un possibile procedimento... però a logica mo torna poco. Allora il testo è: dati \(\displaystyle N_1=(0,0,1) \), \(\displaystyle N_2=(0,1,1) \) \(\displaystyle B=(1,0,0) \), \(\displaystyle A=(0,1,-1) \) e richedta la matrice rappresentante \(\displaystyle \varphi=\pi\sigma \) con \(\displaystyle \sigma \) riflessione attorno a \(\displaystyle N_1^\bot\) e \(\displaystyle \pi \) proiezione ortogonale su \(\displaystyle ...

Buonasera a tutti, sono nuovo del forum e avrei una richiesta su di un esercizio che non mi riesce riguardo la diagonalizzabilità. io ho una matrice del genere: (k^2 k+1 0 k+2) Il testo mi chiede di trovare per quali valori di k la matrice è diagonalizzabile. Io pensavo di costruirmi il polinomio caratteristico e di trovarmi la sua equazione in funzione del parametro K. A questo punto avrei fatto il determinante e lo avrei imposto uguale a zero in modo da ...

Sto riscontrando dei problemi nella risoluzione del seguente esercizio di algebra lineare. Sia f un’applicazione lineare di $C^3$ in $C^3$ che porti rispettivamente: (1,i,1+i) ---->(1, 1, 1) (0, 1, i) ----->(0, 1, i) (1, 1, 0) -----> (1,0,1-i) Si trovi Im f e Ker f. R. : Im f = $z_1$ (1,1,1) + $z_2$ (0,1,i) con $z_1$ , $z_2$ $in$ C. Ker f = z (0, i-2, 1) con z ...

raga ma l'insieme dei numeri naturali è chiuso o aperto?io penso sia chiuso perché il suo complementare cioè Q U Ir con Ir insieme degli irrazionali è un aperto...(basta prendere una palla con centro "i" appartenente al complementare di N e raggio r arbitrariamente piccolo ed ogni intervallo (n1,n2) contenente i la palla è aperta)...sbaglio?

Ciao a tutti, ho un esame di algebra lineare a Gennaio. Sto ripetendo un po' tutto il programma (con non poca fatica, basti pensare che oggi è la vigilia e sono alle prese con la diagonalizzazione ) però mi sono "bloccato" su una prova d'esame. La traccia dice: Data una matrice A: $A=((0,2,-2),(2,2,0),(2,0,2))$ Trovare autovalori e autospazi di A. A è diagonalizzabile? Fino al punto 1 ci siamo. Calcolo il polinomio caratteristico e arrivo a trovare che: $lambda =0$ con $m.a.=1$ ...

lo so che e' 26 dicembre e che probabilmente nessuno avrà voglia di rispondere a un tale testone ma tento comunque ... Data la retta $s=\{(x-y=0);(y-z=0):}$ e la retta $r=\{(x-y+2z+2=0);(x-2y-2z):}$ e il piano $alpha:2x-3y+2=0$ trovare la retta $b$ appartenente al piano $alpha$, perpendicolare a $r$ ed incidente a $s$ io ho fatto cosi: ho preso il fascio di piani con asse la retta s $lambda(x-y)+omega(y-z)=0$ raccogliendo rispetto alle ...

Ciao, amici! Il Sernesi, a p. 288 dell'edizione Bollati Boringhieri del 2000, afferma che "nel 1776 Eulero dimostrò che ogni simmetria di \(\mathbf{E}\) [che è uno spazio euclideo tridimensionale] è uno dei sei tipi [...] le rotazioni, le traslazioni, le riflessioni, le glissoriflessioni, le glissorotazioni e le riflessioni rotatorie". C'è un errore di stampa ed è mica corretto piuttosto "nel 1776 Eulero dimostrò che ogni isometria di \(\mathbf{E}\) è uno dei seguenti tipi: le rotazioni, le ...

Ciao a tutti! Devo risolvere questo esercizio e sono un po' in difficoltà. Consideriamo il seguente sistema di disequazioni a coefficienti in $\mathbb{Q}$: $a_0+a_1x_1+...a_kx_k\ne 0$ $b_0+b_1x_1+...b_kx_k\ne 0$ ... $l_0+l_1x_1+...l_kx_k\ne 0$ Come posso dimostrare che ha soluzione ? Io ho pensato di considerare, per ogni disequazione $a_0+a_1x_1+...a_kx_k\ne 0$, la corrispondente equazione $a_0+a_1x_1+...a_kx_k=0$. L'insieme delle soluzioni di questa genera un sottospazio affine di $\mathbb{Q}^k$, di dimensione ...

Ciao a tutti!! Ho fatto questo esercizio ma ho un dubbio sull'ultimo punto. Dire quali dei seguenti insiemi sottoinsiemi della retta reale sono compatti. $N$ non è compatto perchè non è limitato. ($A sub R$ compatto $hArr $ chiuso e limitato ${1/n,n in N}$ non è chiuso perchè $0$ non appartiene all'insieme. Quindi non è neanche compatto. $[-1,1]$ si. ${x,x^2+px+q<=0}$ si se il delta è positivo. ${1,2,3...n}$ è limitato ed è unione ...