Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti, vorrei un chiarimento sul polinomio caratteristico. Se trovo un polinomio caratteristico uguale ad un equazione di terzo grado scomponibile come:
-x(x^2-5x+8)
Dove x sarebbe l'autovalore.In questo caso l'unica soluzione reale sarebbe x=0 poichè il polinomio di secondo grado ha delta negativo, in questo caso posso concludere che la matrice associata non è diagonalizzabile ?
Buondì! Avrei alcune domande:
1) Si determini, se possibile, un'applicazione lineare $ f: RR^3 \rightarrow RR^2 $ tale che $ (1,1) notin Im(f) $.
Fissando nel dominio e nel codominio la base canonica, ho scritto direttamente la matrice associata. Va bene quella che ho scelto?
$ A= ((7,3/2,14),(5,0,10)) $
2) Sia $ V $ uno spazio vettoriale e sia $ X $ un sottoinsieme finito di $ V $. Si dimostri che se $ X $ contiene il vettore nullo, allora i vettori di ...
Ho due rette nello spazio parametrizzate da (alfa).
${3x + z -1 = 0 \and ay +z = 0}$
${x +y +z + a = 0 \and 2x -y = 0}$
Per stabilire la loro reciprocità ho studiato la matrice incompleta e completa, ricavandomi che per:
$a \ne 0$ e $ a \ne -1$ e $ a \ne 3/2$ hanno rispettivamente rango uguale a 3(incompleta) e 4(completa), cioè sghembe.
Invece, per $a = 0$ oppure per $a = -1$ esse sono incidenti.
L'unico caso che rimane(è l'unico caso?), $a = 3/2$ con cui abbiamo il rango ...
Sto svolgendo alcune prove di esame di algebra lineare e mi sono ritrovato a dover affrontare un esercizio in cui mi si chiede di diagonalizzare questa matrice:
$((1,0,0),(1,1,1),(1,1,-1))$
determinando autovalori e autovettori. Poi mi si chiede di scrivere la matrice $P^-1$ tale che la matrice diagonale sia $D= P^-1*A*P$.
Inizio col calcolo del polinomio caratteristico, che secondo i miei calcoli è $(1-\lambda)*(\lambda^2 -2)$, da cui gli autovalori sono $\lambda=1 $e $\lambda= + o - sqrt(2)$.
Nel ...
Salve a tutti
Sto realizzando un programma in c e dovrei calcolare il raggio spettrale di una matrice quadrata reale e simmetrica, cercando un pò in internet ho trovato che in questa circostanza vale la formula
\[||A||_2=p(A)\]
che è esattamente ciò che fa per me, però ho un dubbio su \(||A||_2\), infatti mi pare di aver capito che \(||A||_2\) della prima formula \(\neq\) dal \(||A||_2\) della seguente formula
\[||A||_2=\sqrt{\sum_i^n\sum_j^n{|a_{ij}|^2}}\]
Quello che vorrei sapere e se ...
Ciao a tutti, sono alle prese con un esercizio che non so risolvere:
sia $S:={((x_1),(x_2),(x_3))\inRR^3 : \{(x_1-2x_2+kx_3=k-1),(x_1-2x_2+x_3=0),(-x_1+2kx_2-2x_3=0) :} \text(con: ) k\inRR}$
Si determinino i valori $k$ per i quali $S$ è sottospazio vettoriale di $RR^3$!
non sapendo come risolverlo ho provato un approccio ... poco diretto:
Perchè $S$ sia sottospazio vettoriale deve essere chiuso rispetto alla somma e al prodotto per scalare. Quindi:
presi: $u:=((x_1),(x_2),(x_3))$ e $v:=((y_1),(y_2),(y_3))$ con $u,v\inS$ anche ...
Edit: Scusami, in realta' ho proprio sbaglaato a copiare la matrice.
Ciao, ho una domanda:
risolvere il seguente sistema lineare tramite l'eliminazione gauss:
$\{(x+3y+3z=0),(4x-4y+6z=0),(5x-y+9z=0):}$
Scrivo la matrice associata:
$\((1,3,3),(4,-4,6),(5,-1,9))|((0),(0),(0))$ procedo con il metodo di gauss:
Riduzioni: $II=4I-II$ e $III=5I-III$ e ottengo:
$\((1,3,3),(0,16,6),(0,16,6)) |((0),(0),(0))$ ora il prossimo passaggio: $III=II -III$
$\((1,3,3),(0,16,6),(0,0,0)) |((0),(0),(0))$
ottengo:
$16y=-6z => 8y=-3z => y=-3/8z$
$x+3y+3z=0 => x+3y-8y = 0 => x-5y=0 => x= 5y = 5(-3/8)z=-15/8z$
quindi il mio vettore soluzioni, posto ...
ciao a tutti, sono nuovo, questo è il mio primo post qui, spero innanzitutto di non violare nessuna regola. Andiamo subito al sodo, non sono sicuro di aver interpretato correttamente la consegna di questo esercizio
(posto l'esercizio e poi scrivo come ho interpretato la consegna) :
Dato il sottospazio vettoriale W ⊂ R^5 definito da:
$\{(2x + ay + t = 0),(z - t - s = 0):}$
Si determini una base per W e una base ortogonale (rispetto al prodotto scalare standard) per W⊥.
Se non sbaglio W è il sottospazio delle ...
Ciao a tutti!! ho da fare questa dimostrazione. Penso di averla fatta ma preferirei qualcuno piu esperto giudicasse la validità della dimostazione.
"Sia $f:X->Y$ una funzione continua tra spazi topologici e sia $Z=Imf$ munito della topologia relativa. Dimostrare che $f$ è continua se e solo se $f2 : X->Z$ definita da $f(x)=f2(x)$ è continua."
Ho fatto come segue.
So che $f:X->Y$ è una funzione continua quindi $f^(-1)(V)$,dove ...
Salve a tutti... ho trovato un esercizio e sfogliando in rete ho trovato un possibile procedimento... però a logica mo torna poco. Allora il testo è:
dati \(\displaystyle N_1=(0,0,1) \), \(\displaystyle N_2=(0,1,1) \) \(\displaystyle B=(1,0,0) \), \(\displaystyle A=(0,1,-1) \) e richedta la matrice rappresentante \(\displaystyle \varphi=\pi\sigma \) con \(\displaystyle \sigma \) riflessione attorno a \(\displaystyle N_1^\bot\) e \(\displaystyle \pi \) proiezione ortogonale su \(\displaystyle ...
Buonasera a tutti, sono nuovo del forum e avrei una richiesta su di un esercizio che non mi riesce riguardo la diagonalizzabilità.
io ho una matrice del genere:
(k^2 k+1
0 k+2)
Il testo mi chiede di trovare per quali valori di k la matrice è diagonalizzabile.
Io pensavo di costruirmi il polinomio caratteristico e di trovarmi la sua equazione in funzione del parametro K.
A questo punto avrei fatto il determinante e lo avrei imposto uguale a zero in modo da ...
Sto riscontrando dei problemi nella risoluzione del seguente esercizio di algebra lineare.
Sia f un’applicazione lineare di $C^3$ in $C^3$ che porti rispettivamente:
(1,i,1+i) ---->(1, 1, 1)
(0, 1, i) ----->(0, 1, i)
(1, 1, 0) -----> (1,0,1-i)
Si trovi Im f e Ker f.
R. : Im f = $z_1$ (1,1,1) + $z_2$ (0,1,i) con $z_1$ , $z_2$ $in$ C. Ker f = z (0, i-2, 1) con z ...
raga ma l'insieme dei numeri naturali è chiuso o aperto?io penso sia chiuso perché il suo complementare cioè Q U Ir con Ir insieme degli irrazionali è un aperto...(basta prendere una palla con centro "i" appartenente al complementare di N e raggio r arbitrariamente piccolo ed ogni intervallo (n1,n2) contenente i la palla è aperta)...sbaglio?
Ciao a tutti, ho un esame di algebra lineare a Gennaio. Sto ripetendo un po' tutto il programma (con non poca fatica, basti pensare che oggi è la vigilia e sono alle prese con la diagonalizzazione ) però mi sono "bloccato" su una prova d'esame.
La traccia dice:
Data una matrice A:
$A=((0,2,-2),(2,2,0),(2,0,2))$
Trovare autovalori e autospazi di A.
A è diagonalizzabile?
Fino al punto 1 ci siamo. Calcolo il polinomio caratteristico e arrivo a trovare che:
$lambda =0$ con $m.a.=1$
...
lo so che e' 26 dicembre e che probabilmente nessuno avrà voglia di rispondere a un tale testone ma tento comunque ...
Data la retta $s=\{(x-y=0);(y-z=0):}$
e la retta $r=\{(x-y+2z+2=0);(x-2y-2z):}$
e il piano $alpha:2x-3y+2=0$
trovare la retta $b$ appartenente al piano $alpha$, perpendicolare a $r$ ed incidente a $s$
io ho fatto cosi:
ho preso il fascio di piani con asse la retta s
$lambda(x-y)+omega(y-z)=0$ raccogliendo rispetto alle ...
Ciao, amici! Il Sernesi, a p. 288 dell'edizione Bollati Boringhieri del 2000, afferma che "nel 1776 Eulero dimostrò che ogni simmetria di \(\mathbf{E}\) [che è uno spazio euclideo tridimensionale] è uno dei sei tipi [...] le rotazioni, le traslazioni, le riflessioni, le glissoriflessioni, le glissorotazioni e le riflessioni rotatorie".
C'è un errore di stampa ed è mica corretto piuttosto "nel 1776 Eulero dimostrò che ogni isometria di \(\mathbf{E}\) è uno dei seguenti tipi: le rotazioni, le ...
Ciao a tutti!
Devo risolvere questo esercizio e sono un po' in difficoltà.
Consideriamo il seguente sistema di disequazioni a coefficienti in $\mathbb{Q}$:
$a_0+a_1x_1+...a_kx_k\ne 0$
$b_0+b_1x_1+...b_kx_k\ne 0$
...
$l_0+l_1x_1+...l_kx_k\ne 0$
Come posso dimostrare che ha soluzione ?
Io ho pensato di considerare, per ogni disequazione $a_0+a_1x_1+...a_kx_k\ne 0$, la corrispondente equazione $a_0+a_1x_1+...a_kx_k=0$. L'insieme delle soluzioni di questa genera un sottospazio affine di $\mathbb{Q}^k$, di dimensione ...
Ciao a tutti!! Ho fatto questo esercizio ma ho un dubbio sull'ultimo punto.
Dire quali dei seguenti insiemi sottoinsiemi della retta reale sono compatti.
$N$ non è compatto perchè non è limitato. ($A sub R$ compatto $hArr $ chiuso e limitato
${1/n,n in N}$ non è chiuso perchè $0$ non appartiene all'insieme. Quindi non è neanche compatto.
$[-1,1]$ si.
${x,x^2+px+q<=0}$ si se il delta è positivo.
${1,2,3...n}$ è limitato ed è unione ...
salve a tutti (...e auguri!)
volevo chiedervi un aiuto rigurado a un esercizio di algebra sulle matrici diagonalizzabili in funzione di un parametro.
la matrice in questione è questa:
$((t,1,2),(1,t,t),(0,0,1))$
ora, considero il polinomio caratteristico per trovare gli autovalori: $U=(1-lambda)(lambda^2 - 2t lambda + t^2 -1)=0$
osservo che le soluzioni sono $lambda = 1 , lambda = t+1, lambda = t-1$, affinchè i tre autovalori siano distinti $t != 0, t!=2$: in questo caso la matrice sarebbe diagonalizzabile.
guardo cosa succede per ...
Sul mio testo di Analisi 1 la norma di un vettore [tex]x \in \mathbb{R}^n[/tex] è definita come:
[tex]\|x\|:=\sqrt{\lt x,x \gt}=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}[/tex]
Inoltre scrive che se [tex]x \in \mathbb{R}^3[/tex] allora la norma coincide con l'ordinaria nozione di lunghezza di un vettore.
Ora però facendo qualche prova, sia in [tex]\mathbb{R}^2[/tex], sia in [tex]\mathbb{R}^3[/tex] mi risulta che sia sempre così, ovvero la norma corrisponde sempre alla lunghezza del vettore; è vero questo ...
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